Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 20 kW pada 500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mP = 50 kN di 1 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 200 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 130 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 20 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 200 mmh = 130 mmt = 20 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tarik aksial sebesar 110 kN bersama torsi 250 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = 110 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 6 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 150 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 1,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 105 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 13369 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1337/100000 = 0,01337 = 13369 µε

Jawaban

ε = 13369 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 299,2 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·4,987 × 10⁸ = 299237 N = 299,2 kN

Jawaban

P_max = 299,2 kN

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 22,17 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(26000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Jawaban

φ = 22,17°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 9,607 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/1,193 × 10⁶ = 9,607 MPa

Jawaban

τ_max = 9,607 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 6 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 4·4·2

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 8·1 − 4·1·0,5 = 6 kN·m

Jawaban

M_x = 6 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 122,6 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·1 + 12·8·4

R_B = 434/8 = 54,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 146 − 54,25 = 91,75 kN

Di mana V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (91,75 − 50)/12 = 3,479 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 122,6 kN·m

Jawaban

M_max = 122,6 kN·m

Terjadi di x = 3,479 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 44,05 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 200·20 = 4000 mm², y₁ = 10 mm

dua kaki: A₂ = 2·20·110 = 4400 mm², y₂ = 20 + 110/2 = 75 mm

Titik berat

ȳ = (4000·10 + 4400·75)/8400 = 44,05 mm

Jawaban

ȳ = 44,05 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 27,16 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 2400·60)/(15000 − 2400) = 77,86 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·−2,857² = 28,25 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·40³/12 + 2400·−17,86² = 1,085 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 27,16 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 27,16 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −18,01 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 160 − 50) = −36,03°

Sudut pada elemen

θ_p = −18,01°

Jawaban

θ_p = −18,01°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 250,6 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = 110000/(π·25²/4) = 110000/490,9 = 224,1 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 112 MPa

R = √(112² + 81,49²) = 138,5 MPa

σ₁ = C + R = 250,6 MPa

σ₂ = C − R = −26,5 MPa

Jawaban

σ₁ = 250,6 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 4,402 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 6000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,68 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001148 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 4,402 mm

Jawaban

δ_B = 4,402 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 157,2 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4500⁴/(384·11000·15) = 4,854 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·4,854 × 10⁷/150)^1/3 = 157,2 mm

Jawaban

h_req = 157,2 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

P_cr = 62,01 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 70,27 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70,27 mm

Jawaban

d = 70,27 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 170,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials