Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm400 mmØ40Ø30δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
80 kN12300 mm500 mmØ20Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 40 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 750 N·mABC2 m3 m

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 2 m dari A, dan torsi 750 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmTB = 400 N·mTC = 750 N·mAB = 2 mBC = 3 mG = 80 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 15 kN·mAB3 m1 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 15 kN·m di x = 3 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM0 = 15 kN·m searah jarum jam, di 3 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 16 kN/mAB5 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 6 mw = 16 kN/m dari 0 sampai 5 m
x0 = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2801010012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1203012014xM positifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.

bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 120 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 150 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 90σy​ = 70τxy​ = −50MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 90 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
30°D = 800 mm, t = 6 mm, p = 0,8 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 800 mm dan tebal dinding 6 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 30° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 800 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 30°
|τn| = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 17 kNABδ1,5 m0,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1,5 m dari A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 4 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 55,17 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/7,25 × 10⁻⁶ = 55169 N = 55,17 kN

Jawaban

P = 55,17 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 21,17 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 80000·622035/831475 = 59849 N

Tegangan

σ2 = 59849/2827 = 21,17 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 21,17 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,85 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·251327) = 0,04974 rad
φ = 0,04974·180/π = 2,85°

Jawaban

φ = 2,85°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 12,97 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 750 N·m
TAB = TC + TB = 750 + 400 = 1150 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 1,15 × 10⁶·2000/(80000·251327) = 0,1144 rad
φBC = 750000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad

Puntiran ujung C

φC = 0,1144 + 0,1119 = 0,2263 rad → |φC| = 12,97°

Jawaban

φC = 12,97°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −11,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 15/4 = 3,75 kN (ke atas)
RA = −RB = −3,75 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −3,75·3 = −11,25 kN·m

Jawaban

Mx = −11,25 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 2,917 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 16·5 = 80 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·5·2,5
RB = 200/6 = 33,33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 33,33 = 46,67 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 46,67/16 = 2,917 m

Jawaban

x0 = 2,917 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 100 + 10/2 = 105 mm
badan: Aw = 12·100 = 1200 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·105 + 1200·50)/4000 = 88,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·10³/12 + 2800·(105 − 88,5)² = 785633 mm⁴
badan: 12·100³/12 + 1200·(50 − 88,5)² = 2,779 × 10⁶ mm⁴
Ix = 785633 + 2,779 × 10⁶ = 3,564 × 10⁶ mm⁴ = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 3,564 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 3,142 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (3600·135 + 1680·60)/5280 = 111,1 mm
tepi atas: c = 150 − 111,1 = 38,86 mm

Momen inersia penampang

I = 120·30³/12 + 3600·23,86² + 14·120³/12 + 1680·51,14² = 8,729 × 10⁶ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 150·8,729 × 10⁶/38,86 = 33,69 kN·m
tepi bawah: M = 40·8,729 × 10⁶/111,1 = 3,142 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 3,142 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 3,142 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 128,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 80 − 10·(−0,5) − (−50)·0,866 = 128,3 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 31,7 MPa, σx′ + σy′ = 160 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 128,3 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 11,55 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0,8·400/6 = 53,33 MPa
σa = pr/(2t) = 26,67 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (53,33 − 26,67)·sin 30°·cos 30° = 11,55 MPa

Jawaban

|τn| = 11,55 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 7,969 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa³/(3EI) = 17000·1500³/(3·2,4 × 10¹²) = 7,969 mm

Jawaban

δP = 7,969 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·6000⁴/(384·11000·16,67) = 7,364 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 736,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 736,4 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 131,6 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2000² = 131595 N = 131,6 kN

Jawaban

Pcr = 131,6 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 3,084 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·4000 = 8000 mm
KL/r = 8000/10 = 800

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Jawaban

σcr = 3,084 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials