Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12600 mm300 mmØ25Ø30δ = 0,4 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmKuningan0,5 mØ 20 mmBaja1,5 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 115 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 80 kNP2​ = 30 kNABC5 m3 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 9,5 mP1 = 80 kN di 5 mP2 = 30 kN di 9,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 10 kNABpotongan1 m7 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 10 kN di 1 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2405001812xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 240 mm dan setebal 18 mm, tinggi total 500 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari modulus penampang elastisnya Sx untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 240 mmH = 500 mmtf = 18 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm200 mm140 mm30 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 50 mmpusat lubang: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 90σy​ = 30τxy​ = 10MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = 90 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
60°D = 1000 mm, t = 6 mm, p = 2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 6 mm berisi gas bertekanan gauge 2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 60° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 60°
|τn| = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mP = 12 kNABδ2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 2 kNABδ2,5 m1,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan δmid di tengah bentang.

P = 2 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m50 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 38,63 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/1,036 × 10⁻⁵ = 38626 N = 38,63 kN

Jawaban

P = 38,63 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 366,1 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 234,3 MPa
σ2 = 366,1 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 366,1 MPa

Jawaban

σmax = 366,1 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,8549 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·251327) = 0,01492 rad
φ = 0,01492·180/π = 0,8549°

Jawaban

φ = 0,8549°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 45,99 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Jawaban

d = 45,99 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 121,9 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·5 + 30·9,5
RB = 685/8 = 85,63 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 85,63 = 24,38 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·5 = 24,38·5 = 121,9 kN·m

Jawaban

Mx = 121,9 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 43,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·1 + 10·8·4
RB = 330/8 = 41,25 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 41,25 = 48,75 kN
w = 10 kN/mP = 10 kNABRA​ = 48,75RB​ = 41,25potongan1 m7 m

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 48,75·1 − 10·1·0,5 = 43,75 kN·m

Jawaban

Mx = 43,75 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Sx = 2408 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 500 − 2·18 = 464 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (240·500³ − 228·464³)/12
Ix = 6,02 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 250 mm
Sx = I/c = 6,02 × 10⁸/250
Sx = 2,408 × 10⁶ mm³ = 2408 × 10³ mm³

Jawaban

Sx = 2408 × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 77,13 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 1500·140)/(24000 − 1500) = 97,33 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·2,667² = 80,17 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·50³/12 + 1500·42,67² = 3,043 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 77,13 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 77,13 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 45,81 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = 60 MPa, R = √(30² + 10²) = 31,62 MPa
σ1 = 91,62 MPa, σ2 = 28,38 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63,25, 91,62, 28,38)/2 = 45,81 MPa

Jawaban

τabs = 45,81 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 36,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 2·500/6 = 166,7 MPa
σa = pr/(2t) = 83,33 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (166,7 − 83,33)·sin 60°·cos 60° = 36,08 MPa

Jawaban

|τn| = 36,08 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 12,07 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 12000·2500³/(3·7,2 × 10¹²) = 8,681 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·2500⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 3,391 mm

Jumlahkan

δ = 8,681 + 3,391 = 12,07 mm

Jawaban

δ = 12,07 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmid = 18,47 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan tengah bentang

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 2000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1,32 × 10¹¹) = 18,47 mm

Jawaban

δmid = 18,47 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 28,79 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/5000² = 28786 N = 28,79 kN

Jawaban

Pcr = 28,79 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 226,6 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/7,5 = 93,33

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/93,33² = 226,6 MPa

Jawaban

σcr = 226,6 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials