Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫02 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah Simpson memakai n = 2 pita. Berikan S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Metode numerikSulit
Selesaikan y′ = y(2 − y), y(0) = 1 dengan metode Euler dan langkah h = 0,1 sampai t = 0,4. Solusi eksaknya y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e−2t). Carilah galat global |E| = |y(0,4) − y4|.
y′ = y(2 − y)y(0) = 1h = 0,1
|E| =
3.Barisan & deretSedang
Deret pangkat Σk=1∞ 2ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1) konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = 3. Carilah ujung kanan x interval itu.
Σ 2ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1)x₀ = 3
x =
4.Barisan & deretSulit
f(x) = cos x dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 4 pada x = 0,3. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = cos xn = 4x = 0,3M = 1
|R₄| =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [4 0 −2; −1 −1 5; 5 −4 3]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem 6x − 3y = 3 dan −3x + 2y = −6. Tentukan x.
6x − 3y = 3−3x + 2y = −6
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = -2. Cari y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(0.5) =
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah sistem memenuhi y″ + 2y′ + 17y = 170 untuk t ≥ 0, dimulai dari keadaan diam: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari y(0,5); sudut dalam radian.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: S = 1,357
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Simpul dan nilai
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,707107 + 0,242536 = 4,070963
Kaidah Simpson
S = (1/3)·4,070963 = 1,357
Jawaban
S = 1,357
Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.
2.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,006386
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y4 = 1,386335
Nilai eksak
y(0,4) = 1,379949
Galat global
|E| = |1,379949 − 1,386335| = 0,006386
Grafik
Jawaban
|E| = 0,006386
Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.
3.Barisan & deret
Jawaban: x = 3,5
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
ck/ck+1 = (1/2)·(k + 2)/(k + 1) → 0,5
Jari-jari
R = 0,5
Selang
2,5 < x < 3,5
x = 3,5
Jawaban
x = 3,5
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₄| = 2,025 × 10⁻⁵
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = 1
Batas Lagrange
|R₄| ≤ 1·0,3⁵/5! = 2,025 × 10⁻⁵
Jawaban
|R₄| = 2,025 × 10⁻⁵
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(0,3) − P₄(0,3)| = 1,011 × 10⁻⁶.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = 50
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 17, M₁₂ = −28, M₁₃ = 9
Ekspansi kofaktor
det A = 4·17 − 0·(−28) + (−2)·9 = 50
Jawaban
det A = 50
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = −4
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 6·2 − (−3)·(−3) = 3
Ganti kolom x
det Aₓ = 3·2 − (−3)·(−6) = −12
x = −12/3 = −4
Jawaban
x = −4
y = −9
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.5) = 1,213
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar ganda
(r + 1)² = 0 → r = −1
Konstanta
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 1A → B = -2 + 2 = 0
Hitung nilainya
y(0,5) = (2 + 0·0,5)·e−0,5 = 1,213
Jawaban
y(0,5) = 1,213
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.5) = 11,15
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.