Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫01,5 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah Simpson memakai n = 4 pita. Berikan S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1,5]n = 4
S =
2.Metode numerikSulit
Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,5 untuk y′ = t² + y², y(0) = 1. Carilah y₁ ≈ y(0,5).
y′ = t² + y²y(0) = 1h = 0,5
y1 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret divergen. Klik deret itu.
A: Σ k!/10ᵏB: Σ k/5ᵏC: Σ (2/5)ᵏD: Σ (−1)ᵏ/k
1A: Σ k!/10ᵏ
2B: Σ k/5ᵏ
3C: Σ (2/5)ᵏ
4D: Σ (−1)ᵏ/k
4.Barisan & deretSulit
Pakai polinom Maclaurin berderajat 2 dari f(x) = ln(1 − x) untuk menghampiri f(0,5). Berikan P₂(0,5).
f(x) = ln(1 − x)n = 2x = 0,5
P₂(0.5) =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [5 0 0; 2 1 0; 1 3 −3]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem x − 4y = −2 dan 4x − 3y = 8. Tentukan x.
x − 4y = −24x − 3y = 8
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Sebuah komponen baja tempa bersuhu 300 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 24 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,05 min⁻¹, cari suhunya T setelah 57 menit.
T0 = 300 °CTa = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 57 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah tangki berisi 1000 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,1 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 55 kg garam?
V = 1000 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: S = 1,199
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.
2.Metode numerik
Jawaban: y1 = 2,055
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
C: Σ (2/5)ᵏ → Geometri dengan r = 2/5, |r| < 1: konvergen.
D: Σ (−1)ᵏ/k → Selang-seling, dengan 1/k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
Jawabannya
A: Σ k!/10ᵏ
Jawaban
A: Σ k!/10ᵏ
4.Barisan & deret
Jawaban: P₂(0.5) = −0,625
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Polinom Maclaurin
P₂(x) = −x − 0,5x²
Substitusikan
P₂(0,5) = −0,5 − 0,125 = −0,625
Jawaban
P₂(0,5) = −0,625
Nilai eksaknya f(0,5) = −0,693147; galat −0,0681472 mengecil jika Anda mengambil lebih banyak suku atau titik yang lebih dekat ke 0.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −15
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −3, M₁₂ = −6, M₁₃ = 5
Ekspansi kofaktor
det A = 5·(−3) − 0·(−6) + 0·5 = −15
Jawaban
det A = −15
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 2,923
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 1·(−3) − (−4)·4 = 13
Ganti kolom x
det Aₓ = (−2)·(−3) − (−4)·8 = 38
x = 38/13 = 2,923
Jawaban
x = 2,923
y = 1,231
7.Persamaan diferensial
Jawaban: T = 39,97 °C
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum pendinginan
T(t) = 24 + 276·e−0,05t
Substitusikan t
T(57) = 24 + 276·0,05784 = 39,97 °C
Jawaban
T = 39,97 °C
8.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 34,66 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.