Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫01 sin(x²) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 2 pita. Berikan T.
f(x) = sin(x²)[a, b] = [0, 1]n = 2
T =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,2 untuk y′ = −y, y(0) = −1 untuk menaksir y2 ≈ y(0,4).
y′ = −yy(0) = −1h = 0,2
y2 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
Pakai polinom Maclaurin berderajat 4 dari f(x) = e3x untuk menghampiri f(−0,5). Berikan P₄(−0,5).
f(x) = e3xn = 4x = −0,5
P₄(−0.5) =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [3 −1 −3; 3 1 −1; −5 1 −2]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
A = [1 −2; 2 6]
λ =
7.Persamaan diferensialSedang
Secangkir kopi bersuhu 93 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 18 °C. Setelah 25 menit suhunya 31 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 23 °C?
T0 = 93 °CTa = 18 °CT(25) = 31 °CT = 23 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan y′ + 2y = 9e−3t dengan y(0) = 0. Cari y(1,5).
y′ + 2y = 9e−3ty(0) = 0
y(1.5) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: T = 0,3341
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Simpul dan nilai
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,247404 + 0,841471 = 1,336279
Kaidah trapesium
T = (0,5/2)·1,336279 = 0,3341
Jawaban
T = 0,3341
Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.
2.Metode numerik
Jawaban: y2 = −0,6724
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Heun
y₁ = −1 + (0,2/2)(1 + 0,8) = −0,82
y₂ = −0,82 + (0,2/2)(0,82 + 0,656) = −0,6724
Grafik
y2 = −0,6724
Jawaban
y2 = −0,6724
Nilai eksaknya adalah y(0,4) = −0,67032.
3.Barisan & deret
Jawaban: C: Σ (−1)ᵏ/k
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Uji setiap deret
A: Σ (3k + 1)/(k + 2) → Suku-sukunya menuju 3, bukan 0: divergen menurut uji suku ke-n.
B: Σ ln k / k → Lebih besar dari 1/k untuk k ≥ 3: divergen menurut perbandingan dengan deret harmonik.
C: Σ (−1)ᵏ/k → Selang-seling, dengan 1/k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
D: Σ (3/2)ᵏ → Geometri dengan r = 3/2 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
Jawabannya
C: Σ (−1)ᵏ/k
Jawaban
C: Σ (−1)ᵏ/k
4.Barisan & deret
Jawaban: P₄(−0.5) = 0,2734
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Nilai eksaknya f(−0,5) = 0,22313; galat −0,0503073 mengecil jika Anda mengambil lebih banyak suku atau titik yang lebih dekat ke 0.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −38
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −1, M₁₂ = −11, M₁₃ = 8
Ekspansi kofaktor
det A = 3·(−1) − (−1)·(−11) + (−3)·8 = −38
Jawaban
det A = −38
6.Matriks & determinan
Jawaban: λ = 5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Persamaan karakteristik
λ² − (7)λ + (10) = 0
Selesaikan
λ = (7 ± √(9))/2 → λ = 2, 5
λ = 5
Jawaban
λ = 5
7.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 38,63 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Konstanta pendinginan
k = ln(75/13)/25 = 0,0701 min⁻¹
Waktu untuk mencapai target
t = ln(75/5)/0,0701 = 38,63 min
Jawaban
t = 38,63 min
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(1.5) = 0,3481
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.