Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫01 sin x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 1]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001
n =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,2 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 2 untuk menaksir y3 ≈ y(0,6).
y′ = cos t − yy(0) = 2h = 0,2
y3 =
3.Barisan & deretSedang
Carilah jari-jari kekonvergenan R dari deret pangkat Σk=1∞ 16ᵏx²ᵏ/k.
Σ 16ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.Barisan & deretSulit
Carilah koefisien c₂ dari (x − 1)² dalam deret Taylor f(x) = 1/x di sekitar a = 1.
f(x) = 1/xa = 1k = 2
c₂ =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [1 2 −4; −1 2 5; 3 4 −4]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem x + y = −10 dan −5x + 3y = −11. Tentukan x.
x + y = −10−5x + 3y = −11
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Secangkir kopi bersuhu 86 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 24 °C. Setelah 19 menit suhunya 44 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 33 °C?
T0 = 86 °CTa = 24 °CT(19) = 44 °CT = 33 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = x untuk x > 0, dengan y(1) = 1. Cari y(2).
y′ + y/x = xy(1) = 1
y(2) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 27
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = sin 1 = 0,8415
Selesaikan untuk n
n² > 1·0,8415/(12·0,0001) = 701,2
n > 26,48 → n = 27
Jawaban
n = 27
2.Metode numerik
Jawaban: y3 = 1,493
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 2 + 0,2·(−1) = 1,8
y₂ = 1,8 + 0,2·(−0,819933) = 1,636013
y₃ = 1,636013 + 0,2·(−0,714952) = 1,493023
Grafik
y3 = 1,493
Jawaban
y3 = 1,493
3.Barisan & deret
Jawaban: R = 0,25
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
Deretnya dalam x²: konvergen untuk 16·x² < 1, jadi |x| < 1/4.
Jari-jari
R = 0,25
Jawaban
R = 0,25
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: c₂ = 1
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Turunan f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 2/x³
Koefisien
c₂ = 2/(1³·2) = 1
c₂ = 1
Jawaban
c₂ = 1
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = 34
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −28, M₁₂ = −11, M₁₃ = −10
Ekspansi kofaktor
det A = 1·(−28) − 2·(−11) + (−4)·(−10) = 34
Jawaban
det A = 34
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = −2,375
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 1·3 − 1·(−5) = 8
Ganti kolom x
det Aₓ = (−10)·3 − 1·(−11) = −19
x = −19/8 = −2,375
Jawaban
x = −2,375
y = −7,625
7.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 32,41 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Konstanta pendinginan
k = ln(62/20)/19 = 0,05955 min⁻¹
Waktu untuk mencapai target
t = ln(62/9)/0,05955 = 32,41 min
Jawaban
t = 32,41 min
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 1,667
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.