Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫02 1/(1 + x³) dx dengan kaidah trapesium memakai n = 3 pita. Berikan T.
f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 3
T =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,1 untuk y′ = t² + y², y(0) = 0,5 untuk menaksir y4 ≈ y(0,4).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y4 =
3.Barisan & deretSedang
Deret pangkat Σk=1∞ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏ konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = 1. Carilah ujung kiri x interval itu.
Σ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏx₀ = 1
x =
4.Barisan & deretSulit
f(x) = eˣ dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 4 pada x = 1,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = e1,5 = 4,482 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = eˣn = 4x = 1,5M = 4,482
|R₄| =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c21 (baris 2, kolom 1).
A = [−4 3; −4 −6]B = [−2 −3; 2 −6]
c21 =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem −x − 2y = −5 dan 4x − 6y = 7. Tentukan x.
−x − 2y = −54x − 6y = 7
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Secangkir kopi bersuhu 92 °C dibiarkan di ruangan bersuhu 22 °C. Setelah 19 menit suhunya 44 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 22 °CT(19) = 44 °C
k = min⁻¹
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan y′ + 0,5y = 8e−3t dengan y(0) = 5. Cari y(0,5).
y′ + 0,5y = 8e−3ty(0) = 5
y(0.5) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: T = 1,082
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.
2.Metode numerik
Jawaban: y4 = 0,6318
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 0,5 + 0,1·(0,25) = 0,525
y₂ = 0,525 + 0,1·(0,285625) = 0,553563
y₃ = 0,553563 + 0,1·(0,346431) = 0,588206
y₄ = 0,588206 + 0,1·(0,435986) = 0,631804
Grafik
y4 = 0,6318
Jawaban
y4 = 0,6318
3.Barisan & deret
Jawaban: x = 0,6667
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
ck/ck+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3
Jari-jari
R = 0,3333
Selang
0,6667 < x < 1,333
x = 0,6667
Jawaban
x = 0,6667
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₄| = 0,2836
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = e1,5 = 4,482
Batas Lagrange
|R₄| ≤ 4,482·1,5⁵/5! = 0,2836
Jawaban
|R₄| = 0,2836
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(1,5) − P₄(1,5)| = 0,08325.
5.Matriks & determinan
Jawaban: c21 = −4
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c21 = (−4)·(−2) + (−6)·2 = −4
Jawaban
c21 = −4
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 3,143
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = (−1)·(−6) − (−2)·4 = 14
Ganti kolom x
det Aₓ = (−5)·(−6) − (−2)·7 = 44
x = 44/14 = 3,143
Jawaban
x = 3,143
y = 0,9286
7.Persamaan diferensial
Jawaban: k = 0,06092 min⁻¹
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Rasio selisih suhu
e−19k = 22/70
Selesaikan untuk k
k = ln(70/22)/19 = 0,06092 min⁻¹
Jawaban
k = 0,06092 min⁻¹
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.5) = 5,672
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Faktor integrasi
μ = e0,5t
(e0,5ty)′ = 8e−2,5t
Penyelesaian umum
y = 8/(−2,5)·e−3t + C·e−0,5t = −3,2·e−3t + C·e−0,5t