Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫12 1/x dx dengan kaidah trapesium, n = 4, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 2]n = 4
|E| =
2.Metode numerikSulit
Selesaikan y′ = y − t², y(0) = 1 dengan metode Euler dan langkah h = 0,2 sampai t = 1. Solusi eksaknya y = t² + 2t + 2 + (y₀ − 2)eᵗ. Carilah galat global |E| = |y(1) − y5|.
y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,2
|E| =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret divergen. Klik deret itu.
A: Σ (−1)ᵏ/kB: Σ (4/3)ᵏC: Σ (2/5)ᵏD: Σ 1/(k² + 7)
1A: Σ (−1)ᵏ/k
2B: Σ (4/3)ᵏ
3C: Σ (2/5)ᵏ
4D: Σ 1/(k² + 7)
4.Barisan & deretSulit
f(x) = ln(1 + x) dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 4 pada x = 0,5. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 4! = 24 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,5M = 24
|R₄| =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−5 4 −1; −1 4 4; −4 2 5]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem −5x − 4y = 3 dan 4x − 5y = 6. Tentukan x.
−5x − 4y = 34x − 5y = 6
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0. Cari y(1).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan y″ + 2y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 10 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,25); sudut dalam radian.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.25) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,003877
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y5 = 2,214016
Nilai eksak
y(1) = 2,281718
Galat global
|E| = |2,281718 − 2,214016| = 0,0677
Grafik
Jawaban
|E| = 0,0677
Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.
3.Barisan & deret
Jawaban: B: Σ (4/3)ᵏ
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Uji setiap deret
A: Σ (−1)ᵏ/k → Selang-seling, dengan 1/k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
B: Σ (4/3)ᵏ → Geometri dengan r = 4/3 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
C: Σ (2/5)ᵏ → Geometri dengan r = 2/5, |r| < 1: konvergen.
D: Σ 1/(k² + 7) → Lebih kecil dari 1/k², deret-p yang konvergen: konvergen menurut perbandingan.
Jawabannya
B: Σ (4/3)ᵏ
Jawaban
B: Σ (4/3)ᵏ
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₄| = 0,00625
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = 4! = 24
Batas Lagrange
|R₄| ≤ 24·0,5⁵/5! = 0,00625
Jawaban
|R₄| = 0,00625
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,004423.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −118
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 12, M₁₂ = 11, M₁₃ = 14
Ekspansi kofaktor
det A = (−5)·12 − 4·11 + (−1)·14 = −118
Jawaban
det A = −118
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 0,2195
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = (−5)·(−5) − (−4)·4 = 41
Ganti kolom x
det Aₓ = 3·(−5) − (−4)·6 = 9
x = 9/41 = 0,2195
Jawaban
x = 0,2195
y = −1,024
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(1) = 0,1442
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar karakteristik
(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4
Konstanta dari nilai awal
A + B = 1, −3A − 4B = 0
A = 4, B = −3
Hitung nilainya
y(1) = 4·e−3 + (−3)·e−4 = 0,1442
Jawaban
y(1) = 0,1442
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.25) = 8,702
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.