Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kelajuan sebuah kendaraan diukur setiap 5 s (tabel). Taksir jarak s yang ditempuh dari t = 0 sampai t = 30 s dengan kaidah Simpson.
h = 5 sn = 6
s = m
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,2 untuk y′ = 0,5y, y(0) = 2 untuk menaksir y4 ≈ y(0,8).
y′ = 0,5yy(0) = 2h = 0,2
y4 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret divergen. Klik deret itu.
A: Σ 1/(2k + 6)B: Σ 10ᵏ/k!C: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 1/k³
1A: Σ 1/(2k + 6)
2B: Σ 10ᵏ/k!
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 1/k³
4.Barisan & deretSulit
Kenali deretnya dan carilah jumlahnya: S = Σk=0∞ 1,5ᵏ/k!.
ak = 1,5ᵏ/k!
S =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−1 0 2; 2 3 4; −4 2 −1]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem 3x − 6y = 5 dan 5x − 3y = 8. Tentukan x.
3x − 6y = 55x − 3y = 8
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Sekaleng minuman soda bersuhu 3 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 23 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,1 min⁻¹, cari suhunya T setelah 18 menit.
T0 = 3 °CTa = 23 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 18 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan y″ + 3y′ + 27,25y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,5); sudut dalam radian.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: s = 661,7 m
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Jumlah berbobot
9 + 4·14 + 2·18 + 4·21 + 2·26 + 4·32 + 32 = 397
Kaidah Simpson
s = (5/3)·397 = 661,7 m
Jawaban
s = 661,7 m
2.Metode numerik
Jawaban: y4 = 2,928
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 2 + 0,2·(1) = 2,2
y₂ = 2,2 + 0,2·(1,1) = 2,42
y₃ = 2,42 + 0,2·(1,21) = 2,662
y₄ = 2,662 + 0,2·(1,331) = 2,9282
Grafik
y4 = 2,928
Jawaban
y4 = 2,928
Nilai eksaknya adalah y(0,8) = 2,983649.
3.Barisan & deret
Jawaban: A: Σ 1/(2k + 6)
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Uji setiap deret
A: Σ 1/(2k + 6) → Berperilaku seperti 1/(2k) untuk k besar; dibandingkan dengan deret harmonik, divergen.
C: Σ (−1)ᵏ/√k → Selang-seling, dengan 1/√k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
D: Σ 1/k³ → Deret-p dengan p = 3 > 1: konvergen.
Jawabannya
A: Σ 1/(2k + 6)
Jawaban
A: Σ 1/(2k + 6)
4.Barisan & deret
Jawaban: S = 4,482
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Deret baku
Σ xᵏ/k! = eˣ
Substitusikan
x = 1,5
S = e1,5 = 4,482
Jawaban
S = 4,482
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = 43
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −11, M₁₂ = 14, M₁₃ = 16
Ekspansi kofaktor
det A = (−1)·(−11) − 0·14 + 2·16 = 43
Jawaban
det A = 43
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 1,571
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 3·(−3) − (−6)·5 = 21
Ganti kolom x
det Aₓ = 5·(−3) − (−6)·8 = 33
x = 33/21 = 1,571
Jawaban
x = 1,571
y = −0,04762
7.Persamaan diferensial
Jawaban: T = 19,69 °C
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum pendinginan
T(t) = 23 + (−20)·e−0,1t
Substitusikan t
T(18) = 23 + (−20)·0,1653 = 19,69 °C
Jawaban
T = 19,69 °C
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.5) = −0,8809
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.