Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫13 1/x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [1, 3]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,25 untuk y′ = y − t², y(0) = 1 untuk menaksir y4 ≈ y(1).
y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,25
y4 =
3.Barisan & deretSedang
Carilah jumlah S = Σk=1∞ 6/(k(k + 4)).
ak = 6/(k(k + 4))
S =
4.Barisan & deretSulit
Pakai polinom Maclaurin berderajat 2 dari f(x) = ln(1 + 2x) untuk menghampiri f(0,25). Berikan P₂(0,25).
f(x) = ln(1 + 2x)n = 2x = 0,25
P₂(0.25) =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [2 −2 5; −5 1 1; −4 3 0]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
A = [6 6; −1 −1]
λ =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 2. Cari y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(2) =
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan masalah nilai awal y′ + 3y/x = 3x untuk x > 0, dengan y(1) = 5. Cari y(2).
y′ + 3y/x = 3xy(1) = 5
y(2) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 366
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = 2/1³ = 2
Selesaikan untuk n
n² > 8·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 133333
n > 365,1 → n = 366
Jawaban
n = 366
2.Metode numerik
Jawaban: y4 = 2,198
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 1 + 0,25·(1) = 1,25
y₂ = 1,25 + 0,25·(1,1875) = 1,546875
y₃ = 1,546875 + 0,25·(1,296875) = 1,871094
y₄ = 1,871094 + 0,25·(1,308594) = 2,198242
Grafik
y4 = 2,198
Jawaban
y4 = 2,198
Nilai eksaknya adalah y(1) = 2,281718.
3.Barisan & deret
Jawaban: S = 3,125
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Pecahan parsial
6/(k(k + 4)) = (6/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Batal
S = (6/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 3,125
Jawaban
S = 3,125
4.Barisan & deret
Jawaban: P₂(0.25) = 0,375
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Polinom Maclaurin
P₂(x) = 2x − 2x²
Substitusikan
P₂(0,25) = 0,5 − 0,125 = 0,375
Jawaban
P₂(0,25) = 0,375
Nilai eksaknya f(0,25) = 0,405465; galat 0,0304651 mengecil jika Anda mengambil lebih banyak suku atau titik yang lebih dekat ke 0.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −53
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −3, M₁₂ = 4, M₁₃ = −11
Ekspansi kofaktor
det A = 2·(−3) − (−2)·4 + 5·(−11) = −53
Jawaban
det A = −53
6.Matriks & determinan
Jawaban: λ = 5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Persamaan karakteristik
λ² − (5)λ + (0) = 0
Selesaikan
λ = (5 ± √(25))/2 → λ = 0, 5
λ = 5
Jawaban
λ = 5
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 1,759
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar ganda
(r + 1)² = 0 → r = −1
Konstanta
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 1A → B = 2 + 3 = 5
Hitung nilainya
y(2) = (3 + 5·2)·e−2 = 1,759
Jawaban
y(2) = 1,759
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 2,95
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.