Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫13 1/x dx dengan kaidah Simpson, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |S − I|.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2
|E| =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Heun (Euler yang diperbaiki) dengan h = 0,1 untuk y′ = −2ty, y(0) = −1 untuk menaksir y2 ≈ y(0,2).
y′ = −2tyy(0) = −1h = 0,1
y2 =
3.Barisan & deretSedang
Deret pangkat Σk=1∞ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)² konvergen pada suatu interval di sekitar x₀ = −1. Carilah ujung kanan x interval itu.
Σ (2k)!·(x + 1)ᵏ/(k!)²x₀ = −1
x =
4.Barisan & deretSulit
f(x) = eˣ dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 4 pada x = 1. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = e1 = 2,718 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₄|.
f(x) = eˣn = 4x = 1M = 2,718
|R₄| =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c21 (baris 2, kolom 1).
A = [−2 −4; 6 5]B = [0 −4; 1 −6]
c21 =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem 3x − y = 4 dan 6x − y = 12. Tentukan x.
3x − y = 46x − y = 12
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 2y′ + y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = 2. Cari y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(0.5) =
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah tangki berisi 400 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 20 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Setelah berapa menit t tangki berisi 64 kg garam?
V = 400 Lm0 = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,0125
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Nilai eksak
I = 1,098612
Kaidah Simpson
S = (1/3)·(1 + 4·0,5 + 0,333333) = 1,111111
Galat
|E| = |1,111111 − 1,098612| = 0,0125
Jawaban
|E| = 0,0125
Galat relatif: 1,138%.
2.Metode numerik
Jawaban: y2 = −0,9607
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Heun
y₁ = −1 + (0,1/2)(0 + 0,2) = −0,99
y₂ = −0,99 + (0,1/2)(0,198 + 0,38808) = −0,960696
Grafik
y2 = −0,9607
Jawaban
y2 = −0,9607
Nilai eksaknya adalah y(0,2) = −0,960789.
3.Barisan & deret
Jawaban: x = −0,75
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Koefisien
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, jadi R = 1/4
Jari-jari
R = 0,25
Selang
−1,25 < x < −0,75
x = −0,75
Jawaban
x = −0,75
Uji rasio tidak mengatakan apa pun di kedua titik ujung; keduanya harus diperiksa secara terpisah.
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₄| = 0,02265
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = e1 = 2,718
Batas Lagrange
|R₄| ≤ 2,718·1⁵/5! = 0,02265
Jawaban
|R₄| = 0,02265
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(1) − P₄(1)| = 0,009948.
5.Matriks & determinan
Jawaban: c21 = 5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c21 = 6·0 + 5·1 = 5
Jawaban
c21 = 5
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 2,667
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = 3·(−1) − (−1)·6 = 3
Ganti kolom x
det Aₓ = 4·(−1) − (−1)·12 = 8
x = 8/3 = 2,667
Jawaban
x = 2,667
y = 4
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.5) = 3,336
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar ganda
(r + 1)² = 0 → r = −1
Konstanta
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 1A → B = 2 + 3 = 5
Hitung nilainya
y(0,5) = (3 + 5·0,5)·e−0,5 = 3,336
Jawaban
y(0,5) = 3,336
8.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 18,33 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.