Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫13 1/x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [1, 3]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,5 untuk y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 untuk menaksir y3 ≈ y(1,5).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,5
y3 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
A: Σ 3/kB: Σ (k + 3)/k²C: Σ (5/3)ᵏD: Σ k/2ᵏ
1A: Σ 3/k
2B: Σ (k + 3)/k²
3C: Σ (5/3)ᵏ
4D: Σ k/2ᵏ
4.Barisan & deretSulit
Carilah koefisien c₃ dari (x − 3)³ dalam deret Taylor f(x) = 1/x di sekitar a = 3.
f(x) = 1/xa = 3k = 3
c₃ =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [4 2 −3; −2 3 −1; −1 −3 2]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
A = [3 6; 1 2]
λ =
7.Persamaan diferensialSedang
Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,1 min⁻¹, cari suhunya T setelah 6 menit.
T0 = 6 °CTa = 22 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 6 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
Sebuah tangki berisi 200 L air murni. Air garam dengan 0,2 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 4 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 5 menit?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 366
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = 2/1³ = 2
Selesaikan untuk n
n² > 8·2/(12·1 × 10⁻⁵) = 133333
n > 365,1 → n = 366
Jawaban
n = 366
2.Metode numerik
Jawaban: y3 = 1,8
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 0,5 + 0,5·(0,75) = 0,875
y₂ = 0,875 + 0,5·(0,984375) = 1,367188
y₃ = 1,367188 + 0,5·(0,865173) = 1,799774
Grafik
y3 = 1,8
Jawaban
y3 = 1,8
Nilai eksaknya adalah y(1,5) = 1,740097.
3.Barisan & deret
Jawaban: D: Σ k/2ᵏ
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
B: Σ (k + 3)/k² → Berperilaku seperti 1/k untuk k besar: divergen menurut perbandingan dengan deret harmonik.
C: Σ (5/3)ᵏ → Geometri dengan r = 5/3 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
D: Σ k/2ᵏ → Uji rasio: L = 1/2 < 1, konvergen.
Jawabannya
D: Σ k/2ᵏ
Jawaban
D: Σ k/2ᵏ
4.Barisan & deret
Jawaban: c₃ = −0,01235
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Turunan f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = −6/x⁴
Koefisien
c₃ = −6/(3⁴·6) = −0,01235
c₃ = −0,01235
Jawaban
c₃ = −0,01235
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = −5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = 3, M₁₂ = −5, M₁₃ = 9
Ekspansi kofaktor
det A = 4·3 − 2·(−5) + (−3)·9 = −5
Jawaban
det A = −5
6.Matriks & determinan
Jawaban: λ = 5
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Persamaan karakteristik
λ² − (5)λ + (0) = 0
Selesaikan
λ = (5 ± √(25))/2 → λ = 0, 5
λ = 5
Jawaban
λ = 5
7.Persamaan diferensial
Jawaban: T = 13,22 °C
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum pendinginan
T(t) = 22 + (−16)·e−0,1t
Substitusikan t
T(6) = 22 + (−16)·0,5488 = 13,22 °C
Jawaban
T = 13,22 °C
8.Persamaan diferensial
Jawaban: m = 3,807 kg
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.