Metode Numerik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀^1,5 √(1 + x³) dx dengan kaidah Simpson memakai n = 2 pita. Berikan S.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 2

S =

2.Metode numerikSulit

Pakai metode Euler dengan h = 0,25 untuk y′ = cos t − y, y(0) = −1 untuk menaksir y₅ ≈ y(1,25).

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25

y₅ =

3.Barisan & deretSedang

Tepat satu dari keempat deret divergen. Klik deret itu.

A: Σ (k + 1)/k²B: Σ (3/5)ᵏC: Σ (−1)ᵏ/√kD: Σ 5/k⁴

1A: Σ (k + 1)/k²
2B: Σ (3/5)ᵏ
3C: Σ (−1)ᵏ/√k
4D: Σ 5/k⁴

4.Barisan & deretSulit

Kenali deretnya dan carilah jumlahnya: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/(2k + 1)!.

a_k = (−1)ᵏ/(2k + 1)!

S =

5.Matriks & determinanSedang

Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c₂₁ (baris 2, kolom 1).

A = [−2 4; −5 −3]B = [2 −4; 2 6]

c₂₁ =

6.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −5x − 4y = −2 dan −5x + y = −11. Tentukan x.

−5x − 4y = −2−5x + y = −11

x =

7.Persamaan diferensialSedang

Sebuah komponen baja tempa bersuhu 300 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 30 °C. Setelah 44 menit suhunya 76 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari konstanta k dalam min⁻¹.

T₀ = 300 °CT_a = 30 °CT(44) = 76 °C

k = min⁻¹

8.Persamaan diferensialSulit

Sebuah tangki berisi 200 L air yang melarutkan 10 kg garam. Air garam dengan 0,25 kg garam per liter mengalir masuk dengan laju 2 L/menit, dan larutan yang tercampur rata mengalir keluar dengan laju yang sama. Berapa banyak garam m di dalam tangki setelah 105 menit?

V = 200 Lm₀ = 10 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

3Larutan

1.Metode numerik

Jawaban: S = 1,965

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Simpul dan nilai

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·1,192424 + 2,09165 = 7,861346

Kaidah Simpson

S = (0,75/3)·7,861346 = 1,965

Jawaban

S = 1,965

Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.

2.Metode numerik

Jawaban: y₅ = 0,3397

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = −1 + 0,25·(2) = −0,5

y₂ = −0,5 + 0,25·(1,468912) = −0,132772

y₃ = −0,132772 + 0,25·(1,010354) = 0,119817

y₄ = 0,119817 + 0,25·(0,611872) = 0,272785

y₅ = 0,272785 + 0,25·(0,267518) = 0,339664

Grafik

y₅ = 0,3397

Jawaban

y₅ = 0,3397

3.Barisan & deret

Jawaban: A: Σ (k + 1)/k²

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Uji setiap deret

A: Σ (k + 1)/k² → Berperilaku seperti 1/k untuk k besar: divergen menurut perbandingan dengan deret harmonik.

B: Σ (3/5)ᵏ → Geometri dengan r = 3/5, |r| < 1: konvergen.

C: Σ (−1)ᵏ/√k → Selang-seling, dengan 1/√k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).

D: Σ 5/k⁴ → Deret-p dengan p = 4 > 1: konvergen.

Jawabannya

A: Σ (k + 1)/k²

Jawaban

A: Σ (k + 1)/k²

4.Barisan & deret

Jawaban: S = 0,8415

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Deret baku

Σ (−1)ᵏx^2k+1/(2k + 1)! = sin x

Substitusikan

x = 1

S = sin 1 = 0,8415

Jawaban

S = 0,8415

5.Matriks & determinan

Jawaban: c₂₁ = −16

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Baris kali kolom

c₂₁ = (−5)·2 + (−3)·2 = −16

Jawaban

c₂₁ = −16

6.Matriks & determinan

Jawaban: x = 1,84

Determinan matriks koefisien

det A = (−5)·1 − (−4)·(−5) = −25

Ganti kolom x

det Aₓ = (−2)·1 − (−4)·(−11) = −46

x = −46/(−25) = 1,84

Jawaban

x = 1,84

y = −1,8

7.Persamaan diferensial

Jawaban: k = 0,04022 min⁻¹

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Rasio selisih suhu

e^−44k = 46/270

Selesaikan untuk k

k = ln(270/46)/44 = 0,04022 min⁻¹

Jawaban

k = 0,04022 min⁻¹

8.Persamaan diferensial

Jawaban: m = 36 kg

Susun persamaannya

dm/dt = 2·0,25 − (2/200)·m = 0,5 − 0,01·m

Selesaikan

Faktor integrasinya e^rt/V; penyelesaiannya mendekati kesetimbangan c·V.

m(t) = 50 + (−40)·e^−t/100

Substitusikan t

m(105) = 50 + (−40)·0,3499 = 36 kg

Jawaban

m = 36 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods