Metode Numerik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀³ sin x dx dengan kaidah trapesium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 3]n = 2

|E| =

2.Metode numerikSulit

Pakai metode Euler dengan h = 0,1 untuk y′ = 0,5y, y(0) = 1 untuk menaksir y₅ ≈ y(0,5).

y′ = 0,5yy(0) = 1h = 0,1

y₅ =

3.Barisan & deretSedang

Carilah jumlah S = Σ_k=1⁹ 6/(k(k + 1)).

a_k = 6/(k(k + 1))n = 9

S =

4.Barisan & deretSulit

Carilah koefisien c₂ dari (x − 4)² dalam deret Taylor f(x) = ln x di sekitar a = 4.

f(x) = ln xa = 4k = 2

c₂ =

5.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−5 0 −4; −4 5 −1; −4 0 −4]

det A =

6.Matriks & determinanSulit

Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.

A = [5 −1; 6 −2]

λ =

7.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 8y′ + 15y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 1. Cari y(2).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(2) =

8.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan y″ + 2y′ + 5y = 0 dengan y(0) = 10 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,25); sudut dalam radian.

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.25) =

3Larutan

1.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,3879

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 1,989992

Kaidah trapesium

T = (1,5/2)·(0 + 2·0,997495 + 0,14112) = 1,602082

Galat

|E| = |1,602082 − 1,989992| = 0,3879

Jawaban

|E| = 0,3879

Galat relatif: 19,49%.

2.Metode numerik

Jawaban: y₅ = 1,276

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 1 + 0,1·(0,5) = 1,05

y₂ = 1,05 + 0,1·(0,525) = 1,1025

y₃ = 1,1025 + 0,1·(0,55125) = 1,157625

y₄ = 1,157625 + 0,1·(0,578813) = 1,215506

y₅ = 1,215506 + 0,1·(0,607753) = 1,276282

Grafik

y₅ = 1,276

Jawaban

y₅ = 1,276

Nilai eksaknya adalah y(0,5) = 1,284025.

3.Barisan & deret

Jawaban: S = 5,4

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

Batal

S = 6·(1 − 1/10) = 5,4

Jawaban

S = 5,4

4.Barisan & deret

Jawaban: c₂ = −0,03125

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Turunan f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −1/x²

Koefisien

c₂ = f⁽²⁾(4)/2! = −1/(4²·2) = −0,03125

c₂ = −0,03125

Jawaban

c₂ = −0,03125

5.Matriks & determinan

Jawaban: det A = 20

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = −20, M₁₂ = 12, M₁₃ = 20

Ekspansi kofaktor

det A = (−5)·(−20) − 0·12 + (−4)·20 = 20

Jawaban

det A = 20

6.Matriks & determinan

Jawaban: λ = 4

Persamaan karakteristik

λ² − (3)λ + (−4) = 0

Selesaikan

λ = (3 ± √(25))/2 → λ = −1, 4

λ = 4

Jawaban

λ = 4

7.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 0,01347

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

Konstanta dari nilai awal

A + B = 2, −3A − 5B = 1

A = 5,5, B = −3,5

Hitung nilainya

y(2) = 5,5·e⁻⁶ + (−3,5)·e⁻¹⁰ = 0,01347

Jawaban

y(2) = 0,01347

8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(0.25) = 8,702

Akar kompleks

r = −1 ± 2j

Konstanta

A = 10, B = 1·10/2 = 5

Hitung nilainya

y(0,25) = e^−0,25(10·cos 0,5 + 5·sin 0,5) = 8,702

Jawaban

y(0,25) = 8,702

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods