Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Hampiri ∫01 1/√(1 + x⁴) dx dengan kaidah Simpson memakai n = 6 pita. Berikan S.
f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
2.Metode numerikSulit
Pakai metode Euler dengan h = 0,2 untuk y′ = t − y, y(0) = 1 untuk menaksir y4 ≈ y(0,8).
y′ = t − yy(0) = 1h = 0,2
y4 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
A: Σ (5/3)ᵏB: Σ 1/(3k + 6)C: Σ (−1)ᵏ/kD: Σ k!/2ᵏ
1A: Σ (5/3)ᵏ
2B: Σ 1/(3k + 6)
3C: Σ (−1)ᵏ/k
4D: Σ k!/2ᵏ
4.Barisan & deretSulit
Carilah koefisien c₃ dari (x + 1)³ dalam deret Taylor f(x) = e3x di sekitar a = −1.
f(x) = e3xa = −1k = 3
c₃ =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c22 (baris 2, kolom 2).
A = [2 4; −3 −4]B = [1 −5; 2 3]
c22 =
6.Matriks & determinanSulit
Selesaikan sistem −5x − y = −1 dan −6x + y = 0. Tentukan x.
−5x − y = −1−6x + y = 0
x =
7.Persamaan diferensialSedang
Selesaikan y″ + 6y′ + 9y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0. Cari y(2).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(2) =
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan masalah nilai awal y′ + y/x = 2x untuk x > 0, dengan y(1) = −1. Cari y(2).
y′ + y/x = 2xy(1) = −1
y(2) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: S = 0,9271
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Integral ini tidak memiliki antiturunan elementer, dan justru pada saat seperti itulah kaidah numerik diperlukan.
2.Metode numerik
Jawaban: y4 = 0,6192
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y₁ = 1 + 0,2·(−1) = 0,8
y₂ = 0,8 + 0,2·(−0,6) = 0,68
y₃ = 0,68 + 0,2·(−0,28) = 0,624
y₄ = 0,624 + 0,2·(−0,024) = 0,6192
Grafik
y4 = 0,6192
Jawaban
y4 = 0,6192
Nilai eksaknya adalah y(0,8) = 0,698658.
3.Barisan & deret
Jawaban: C: Σ (−1)ᵏ/k
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Uji setiap deret
A: Σ (5/3)ᵏ → Geometri dengan r = 5/3 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
B: Σ 1/(3k + 6) → Berperilaku seperti 1/(3k) untuk k besar; dibandingkan dengan deret harmonik, divergen.
C: Σ (−1)ᵏ/k → Selang-seling, dengan 1/k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Turunan f⁽³⁾
f⁽³⁾(x) = 3³·e3x
Koefisien
c₃ = 3³·e−3/3! = 0,224
c₃ = 0,224
Jawaban
c₃ = 0,224
5.Matriks & determinan
Jawaban: c22 = 3
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c22 = (−3)·(−5) + (−4)·3 = 3
Jawaban
c22 = 3
6.Matriks & determinan
Jawaban: x = 0,09091
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Determinan matriks koefisien
det A = (−5)·1 − (−1)·(−6) = −11
Ganti kolom x
det Aₓ = (−1)·1 − (−1)·0 = −1
x = −1/(−11) = 0,09091
Jawaban
x = 0,09091
y = 0,5455
7.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 0,0347
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.
Akar ganda
(r + 3)² = 0 → r = −3
Konstanta
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 3A → B = 0 + 6 = 6
Hitung nilainya
y(2) = (2 + 6·2)·e−6 = 0,0347
Jawaban
y(2) = 0,0347
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 1,833
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.