Metode Numerik: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 8 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Metode numerik

Bisection: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolasi linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Batas galat trapesium: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metode

Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.

Barisan & deret

Barisan aritmetika: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinom Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Batas galat Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Metode

Kenali jenisnya: aritmetika (beda tetap), geometri (rasio tetap), deret baku, deret pangkat, atau polinom Taylor.
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matriks & determinan

determinan 2×2: det = ad − bc
Invers 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Aturan Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Persamaan diferensial

Pertumbuhan/peluruhan eksponensial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Waktu paruh: k = ln 2 / t_½
Hukum pendinginan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor integrasi: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Soal latihan

1.Metode numerikSedang

Hampiri ∫₀² eˣ dx dengan kaidah trapesium, n = 2, dan bandingkan dengan nilai eksak. Carilah galat mutlak |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

2.Metode numerikSulit

Pakai metode Euler dengan h = 0,25 untuk y′ = −2ty, y(0) = 2 untuk menaksir y₅ ≈ y(1,25).

y′ = −2tyy(0) = 2h = 0,25

y₅ =

3.Barisan & deretSedang

Carilah jumlah S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 3)).

a_k = 3/(k(k + 3))

S =

4.Barisan & deretSulit

f(x) = eˣ dihampiri pada x = 2 oleh polinom Maclaurin berderajat n. Dengan batas Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dan M = 8, carilah derajat terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,001.

f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,001

n =

5.Matriks & determinanSedang

Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−5 −1 1; 4 4 1; 2 2 4]

det A =

6.Matriks & determinanSulit

Selesaikan sistem −x − 5y = 1 dan 2x + 6y = −1. Tentukan x.

−x − 5y = 12x + 6y = −1

x =

7.Persamaan diferensialSedang

Selesaikan y″ + 7y′ + 12y = 0 dengan y(0) = 4 dan y′(0) = 4. Cari y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(1) =

8.Persamaan diferensialSulit

Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 3x untuk x > 0, dengan y(1) = 0. Cari y(2).

y′ + 2y/x = 3xy(1) = 0

y(2) =

3Larutan

1.Metode numerik

Jawaban: |E| = 0,5238

Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.

Nilai eksak

I = 6,389056

Kaidah trapesium

T = (1/2)·(1 + 2·2,718282 + 7,389056) = 6,91281

Galat

|E| = |6,91281 − 6,389056| = 0,5238

Jawaban

|E| = 0,5238

Galat relatif: 8,198%.

2.Metode numerik

Jawaban: y₅ = 0,4102

Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.

Langkah Euler

y₁ = 2 + 0,25·(0) = 2

y₂ = 2 + 0,25·(−1) = 1,75

y₃ = 1,75 + 0,25·(−1,75) = 1,3125

y₄ = 1,3125 + 0,25·(−1,96875) = 0,820313

y₅ = 0,820313 + 0,25·(−1,640625) = 0,410156

Grafik

y₅ = 0,4102

Jawaban

y₅ = 0,4102

Nilai eksaknya adalah y(1,25) = 0,419223.

3.Barisan & deret

Jawaban: S = 1,833

Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |a_k+1/a_k|; uji akar: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |c_k/c_k+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.

Pecahan parsial

3/(k(k + 3)) = (3/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Batal

S = (3/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,833

Jawaban

S = 1,833

4.Barisan & deret

Jawaban: n = 10

Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.

Batas untuk n yang membesar

n = 9: 0,002257 ≥ 0,001

n = 10: 0,0004105 < 0,001

Derajat terkecil

n = 10

Jawaban

n = 10

5.Matriks & determinan

Jawaban: det A = −56

Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 14, M₁₂ = 14, M₁₃ = 0

Ekspansi kofaktor

det A = (−5)·14 − (−1)·14 + 1·0 = −56

Jawaban

det A = −56

6.Matriks & determinan

Jawaban: x = 0,25

Determinan matriks koefisien

det A = (−1)·6 − (−5)·2 = 4

Ganti kolom x

det Aₓ = 1·6 − (−5)·(−1) = 1

x = 1/4 = 0,25

Jawaban

x = 0,25

y = −0,25

7.Persamaan diferensial

Jawaban: y(1) = 0,7027

Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = e^rt: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·e^rt (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.

Akar karakteristik

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

Konstanta dari nilai awal

A + B = 4, −3A − 4B = 4

A = 20, B = −16

Hitung nilainya

y(1) = 20·e⁻³ + (−16)·e⁻⁴ = 0,7027

Jawaban

y(1) = 0,7027

8.Persamaan diferensial

Jawaban: y(2) = 2,813

Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.

Faktor integrasi

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integralkan

(x²y)′ = 3x³ → x²y = 3x⁴/4 + C

Kondisi awal

0 = 3/4 + C → C = −0,75

Hitung nilainya

y(2) = (3·2⁴/4 + (−0,75))/2² = 2,813

Jawaban

y(2) = 2,813

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods