Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫01 eˣ dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 1]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Metode numerikSulit
Lakukan satu langkah metode Runge–Kutta klasik (RK4) dengan h = 0,1 untuk y′ = cos t − y, y(0) = 3. Carilah y₁ ≈ y(0,1).
y′ = cos t − yy(0) = 3h = 0,1
y1 =
3.Barisan & deretSedang
Tepat satu dari keempat deret konvergen. Klik deret itu.
f(x) = sin x dihampiri oleh polinom Maclaurin berderajat 3 pada x = 1. Pakai batas galat Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! dengan M = 1 untuk mencari galat terbesar yang mungkin |R₃|.
f(x) = sin xn = 3x = 1M = 1
|R₃| =
5.Matriks & determinanSedang
Misalkan C = AB untuk matriks yang ditunjukkan. Tentukan entri c12 (baris 1, kolom 2).
A = [−3 1; −5 −4]B = [0 0; 4 6]
c12 =
6.Matriks & determinanSulit
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
A = [6 −3; 2 1]
λ =
7.Persamaan diferensialSedang
Sebuah komponen baja tempa bersuhu 340 °C dibiarkan mendingin di bengkel bersuhu 29 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Dengan k = 0,02 min⁻¹, cari suhunya T setelah 57 menit.
T0 = 340 °CTa = 29 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 57 min
T = °C
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan masalah nilai awal y′ + 2y/x = 2x2 untuk x > 0, dengan y(1) = 0. Cari y(2).
y′ + 2y/x = 2x2y(1) = 0
y(2) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 151
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = e1 = 2,718
Selesaikan untuk n
n² > 1·2,718/(12·1 × 10⁻⁵) = 22652
n > 150,5 → n = 151
Jawaban
n = 151
2.Metode numerik
Jawaban: y1 = 2,81
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Uji setiap deret
A: Σ (−1)ᵏ/k → Selang-seling, dengan 1/k menurun menuju 0: konvergen (bersyarat).
B: Σ k/(k + 7) → Suku-sukunya menuju 1, bukan 0: divergen menurut uji suku ke-n.
C: Σ (k + 5)/k² → Berperilaku seperti 1/k untuk k besar: divergen menurut perbandingan dengan deret harmonik.
D: Σ (5/3)ᵏ → Geometri dengan r = 5/3 > 1: suku-sukunya membesar, jadi divergen.
Jawabannya
A: Σ (−1)ᵏ/k
Jawaban
A: Σ (−1)ᵏ/k
4.Barisan & deret
Jawaban: |R₃| = 0,04167
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Batas turunan
M = 1
Batas Lagrange
|R₃| ≤ 1·1⁴/4! = 0,04167
Jawaban
|R₃| = 0,04167
Galat sebenarnya lebih kecil: |f(1) − P₃(1)| = 0,008138.
5.Matriks & determinan
Jawaban: c12 = 6
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Baris kali kolom
c12 = (−3)·0 + 1·6 = 6
Jawaban
c12 = 6
6.Matriks & determinan
Jawaban: λ = 4
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Persamaan karakteristik
λ² − (7)λ + (12) = 0
Selesaikan
λ = (7 ± √(1))/2 → λ = 3, 4
λ = 4
Jawaban
λ = 4
7.Persamaan diferensial
Jawaban: T = 128,5 °C
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Penyelesaian hukum pendinginan
T(t) = 29 + 311·e−0,02t
Substitusikan t
T(57) = 29 + 311·0,3198 = 128,5 °C
Jawaban
T = 128,5 °C
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(2) = 3,1
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.