Untuk akar: periksa pergantian tanda pada bisection, atau hitung f dan f′ untuk Newton, dan pertahankan enam angka atau lebih pada tabel iterasi.
Untuk nilai tabel: interpolasikan secara linear di antara dua titik yang bertetangga.
Untuk integral: cari h = (b − a)/n, daftarkan f di setiap simpul, terapkan bobot (1, 2, …, 2, 1 untuk trapesium; 1, 4, 2, …, 4, 1 untuk Simpson dengan n genap) dan kalikan dengan h/2 atau h/3.
Untuk PD: melangkahlah dari t₀ dengan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) atau kemiringan rata-rata (Heun), satu baris per langkah, sampai mencapai t yang diminta.
Barisan & deret
Barisan aritmetika
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Barisan geometri
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Deret geometri tak hingga
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Deret-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Uji rasio
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Jari-jari kekonvergenan
R = lim |ck/ck+1|
Polinom Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Deret Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Untuk jumlah pakai Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), atau S = a₁/(1 − r) bila |r| < 1, dengan a₁ suku pertama dari jumlah itu.
Untuk kekonvergenan: uji suku ke-n dulu, lalu bandingkan dengan Σ1/kᵖ atau deret geometri, dan pakai uji rasio atau akar untuk faktorial dan pangkat ke-k.
Untuk polinom Taylor daftarkan f(a), f′(a), f″(a), …, bagi turunan ke-k dengan k!, dan batasi galat dengan M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matriks & determinan
determinan 2×2
det = ad − bc
Invers 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk
(AB)ij = Σk AikBkj
Nilai eigen
det(A − λI) = 0
Aturan Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Persamaan diferensial
Pertumbuhan/peluruhan eksponensial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Waktu paruh
k = ln 2 / t½
Hukum pendinginan Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Faktor integrasi
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Soal latihan
1.Metode numerikSedang
Kaidah trapesium dipakai untuk ∫02 sin x dx. Galatnya paling besar (b − a)³·M/(12n²) dengan M = maks|f″| pada [0, 2]. Carilah jumlah pita terkecil n yang menjamin galat di bawah 0,0001.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001
n =
2.Metode numerikSulit
Selesaikan y′ = t + y, y(0) = 0,5 dengan metode Euler dan langkah h = 0,2 sampai t = 0,6. Solusi eksaknya y = −t − 1 + (y₀ + 1)eᵗ. Carilah galat global |E| = |y(0,6) − y3|.
y′ = t + yy(0) = 0,5h = 0,2
|E| =
3.Barisan & deretSedang
Terapkan uji rasio pada Σk=1∞ 3ᵏ·k!/kᵏ. Carilah L = lim |ak+1/ak|.
ak = 3ᵏ·k!/kᵏ
L =
4.Barisan & deretSulit
Pakai polinom Maclaurin berderajat 4 dari f(x) = 1/(1 − x) untuk menghampiri f(0,5). Berikan P₄(0,5).
f(x) = 1/(1 − x)n = 4x = 0,5
P₄(0.5) =
5.Matriks & determinanSedang
Tentukan determinan det A dari matriks 3×3 A yang ditunjukkan.
A = [−2 1 0; 5 0 4; 4 2 −3]
det A =
6.Matriks & determinanSulit
Tentukan nilai eigen yang lebih besar λ dari matriks A yang ditunjukkan.
A = [−3 −3; 8 7]
λ =
7.Persamaan diferensialSedang
Sekaleng minuman soda bersuhu 6 °C dikeluarkan dari lemari es ke ruangan bersuhu 26 °C. Setelah 15 menit suhunya 22 °C. Benda tersebut mengikuti hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Berapa lama setelah awal, t, yang diperlukan untuk mencapai 24 °C?
T0 = 6 °CTa = 26 °CT(15) = 22 °CT = 24 °C
t = min
8.Persamaan diferensialSulit
Selesaikan y″ + y′ + 25,25y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 0 (dilepas dari keadaan diam). Cari y(0,25); sudut dalam radian.
y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.25) =
3Larutan
1.Metode numerik
Jawaban: n = 82
Integrasi numerik: bagi [a, b] menjadi n pita selebar h = (b − a)/n dengan simpul x₀ … xₙ. Kaidah trapesium: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Kaidah Simpson (n genap): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Galat trapesium mengecil seperti h² (batas (b − a)h²·M/12 dengan M = maks|f″|), Simpson seperti h⁴, jadi Simpson biasanya jauh lebih akurat untuk simpul yang sama.
Batas turunan kedua
M = |sin(π/2)| = 1
Selesaikan untuk n
n² > 8·1/(12·0,0001) = 6667
n > 81,65 → n = 82
Jawaban
n = 82
2.Metode numerik
Jawaban: |E| = 0,1412
Penyelesaian numerik y′ = f(t, y): metode Euler melangkah menurut kemiringan di awal setiap langkah: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Metode Heun (Euler yang diperbaiki) merata-ratakan kemiringan di awal dan pada prediksi Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Metode Runge–Kutta klasik (RK4) menggabungkan empat kemiringan: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Galat global Euler sebanding dengan h, Heun dengan h², RK4 dengan h⁴.
Langkah Euler
y3 = 0,992
Nilai eksak
y(0,6) = 1,133178
Galat global
|E| = |1,133178 − 0,992| = 0,1412
Grafik
Jawaban
|E| = 0,1412
Membagi dua h kira-kira membagi dua galat metode Euler.
3.Barisan & deret
Jawaban: L = 1,104
Kekonvergenan: jika suku-sukunya tidak menuju 0, deret divergen (uji suku ke-n). Σ1/kᵖ konvergen hanya untuk p > 1, dan Σrᵏ hanya untuk |r| < 1. Bandingkan suatu deret dengan salah satunya bila suku-sukunya berperilaku seperti itu untuk k besar. Uji rasio: L = lim |ak+1/ak|; uji akar: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergen, L > 1 divergen, L = 1 tidak menentukan apa pun. Deret pangkat Σck(x − x₀)ᵏ konvergen untuk |x − x₀| < R dengan R = lim |ck/ck+1|; deret selang-seling dengan suku-suku yang menurun menuju 0 konvergen.
Rasio suku-suku berurutan
|ak+1/ak| = 3·(k/(k + 1))ᵏ = 3/(1 + 1/k)ᵏ → 3/e
Kesimpulan
L = 1,104 > 1
Jawaban
L = 1,104
L > 1, jadi deret divergen.
4.Barisan & deret
Jawaban: P₄(0.5) = 1,938
Polinom Taylor: di dekat x = a fungsi mulus didekati oleh Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; untuk a = 0 ini adalah polinom Maclaurin. Deret baku: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Batas galat Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, dengan M nilai terbesar |f⁽ⁿ⁺¹⁾| di antara a dan x.
Polinom Maclaurin
P₄(x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴
Substitusikan
P₄(0,5) = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 1,938
Jawaban
P₄(0,5) = 1,938
Nilai eksaknya f(0,5) = 2; galat 0,0625 mengecil jika Anda mengambil lebih banyak suku atau titik yang lebih dekat ke 0.
5.Matriks & determinan
Jawaban: det A = 47
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Minor 2×2 baris pertama
M₁₁ = −8, M₁₂ = −31, M₁₃ = 10
Ekspansi kofaktor
det A = (−2)·(−8) − 1·(−31) + 0·10 = 47
Jawaban
det A = 47
6.Matriks & determinan
Jawaban: λ = 3
Matriks: determinan matriks 2×2 adalah ad − bc. Untuk 3×3, ekspansikan sepanjang satu baris: setiap entri dikali determinan matriks 2×2 yang tersisa setelah baris dan kolomnya dihapus, dengan tanda bergantian + − +. Nilai eigen λ memenuhi det(A − λI) = 0; untuk 2×2 itu adalah λ² − (trace)·λ + det = 0.
Persamaan karakteristik
λ² − (4)λ + (3) = 0
Selesaikan
λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3
λ = 3
Jawaban
λ = 3
7.Persamaan diferensial
Jawaban: t = 21,46 min
Persamaan diferensial orde satu: dy/dt = k·y memiliki penyelesaian y = y₀·ekt (pertumbuhan untuk k > 0, peluruhan untuk k < 0); waktu paruh T memberikan k = ln 2/T. Hukum pendinginan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor integrasi μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, sehingga μy = ∫μq dx + C.
Konstanta pendinginan
k = ln(-20/-4)/15 = 0,1073 min⁻¹
Waktu untuk mencapai target
t = ln(-20/(−2))/0,1073 = 21,46 min
Jawaban
t = 21,46 min
8.Persamaan diferensial
Jawaban: y(0.25) = 0,724
Persamaan linear orde dua: untuk y″ + b·y′ + c·y = 0 coba y = ert: ini memberi persamaan karakteristik r² + b·r + c = 0. Dua akar real r₁ ≠ r₂ memberi y = A·er₁t + B·er₂t (redaman lebih); akar ganda r memberi y = (A + Bt)·ert (redaman kritis); akar kompleks −α ± jω memberi y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berosilasi). Nilai awal y(0) dan y′(0) menentukan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn adalah frekuensi alami dan ζ rasio redaman: ζ < 1 berosilasi. Dengan masukan konstan, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya adalah nilai tunak K ditambah respons bebas.