Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Daya tiga fasa
Hubungan Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Hubungan Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Daya nyata total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Daya semu dan daya reaktif
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Kapasitor perbaikan faktor daya
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tegangan pada setiap kapasitor
Δ: VL Y: VL/√3
Daya masukan motor
Pin = Pout/η
Transformator
Rasio lilitan
a = N1/N2 = V1/V2
Rasio arus
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Arus pengenal
I = S/V
Impedansi yang dirujuk
Z1′ = a²·ZL
Rugi tembaga pada beban parsial
Pcu = x²·Pcu,fl
Efisiensi
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Efisiensi maksimum
x = √(Pcore/Pcu,fl)
Daya AC & faktor daya
Daya nyata
P = V·I·cos φ
Daya reaktif
Q = V·I·sin φ
Daya semu
S = V·I = √(P² + Q²)
Faktor daya
pf = cos φ = P/S
Kapasitor kompensasi
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Impedansi AC & fasor
Impedansi
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frekuensi sudut
ω = 2πf
Besar dan sudut
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Hukum Ohm dalam fasor
V = I·Z
Metode
Ubah frekuensinya: ω = 2πf.
Cari setiap reaktansi: XL = ωL dan XC = 1/(ωC).
Jumlahkan impedansi seperti resistor, dengan Z = R + jX.
Cari besar |Z| = √(R² + X²) dan sudut φ = atan(X/R), lalu gunakan hukum Ohm dengan fasor.
Motor DC
Rangkaian jangkar
V = E + IaRa
GGL balik dan torsi
E = k·ω, T = k·Ia
Kelajuan
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Kecepatan tanpa beban dan torsi tertahan
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Daya-daya
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Start
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulasi kecepatan
SR = (n0 − nFL)/nFL
Daya maksimum yang dikembangkan
Pmax = V²/(4Ra)
Penggerak chopper
Va = D·Vdc
Metode
Gambar rangkaian jangkar: catu V, resistansi Ra, dan GGL balik E yang diseri.
Gunakan V = E + Ia·Ra untuk menghubungkan tegangan, arus, dan GGL balik.
Gunakan E = k·ω untuk kecepatan dan T = k·Ia untuk torsi, dengan ω = 2π·n/60.
Untuk daya dan efisiensi, mulailah dari V·Ia, kurangkan rugi tembaga Ia²·Ra lalu rugi rotasi.
2Soal latihan
1.Daya tiga fasaSedang
Beban tiga fasa seimbang menarik arus saluran 100 A dari sumber dengan tegangan antarsaluran 208 V. Faktor dayanya 0,7 tertinggal. Cari daya nyata total P yang diserap beban dalam kW.
VL = 208 VIL = 100 Acos φ = 0,7
P = kW
2.Daya tiga fasaSulit
Beban tiga fasa seimbang menyerap 200 kW pada faktor daya 0,7 tertinggal dari sumber 400 V (antarsaluran), 50 Hz. Bank kapasitor tiga fasa yang diparalel dengan beban harus menaikkan faktor daya keseluruhan menjadi 0,92 tertinggal. Daya nyatanya tetap sama. Kapasitor dihubungkan secara Y. Cari kapasitansi Cph setiap kapasitor dalam µF.
P = 200 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.TransformatorSedang
Resistor 2 Ω dihubungkan pada kumparan sekunder transformator ideal dengan rasio lilitan N₁:N₂ = 12:1. Cari hambatan R1′ yang terlihat dari kumparan primer.
N1:N2 = 12:1RL = 2 Ω
R1′ = Ω
4.TransformatorSulit
Sebuah transformator satu fasa 50 kVA memiliki rugi inti 300 W. Pada beban pengenal dan faktor daya 0,9 tertinggal, efisiensinya 98,8%. Cari rugi tembaga beban penuh Pcu,fl dalam watt.
S = 50 kVAPcore = 300 Wpf = 0,9η = 98,8%
Pcu,fl = W
5.Daya AC & faktor dayaSedang
Sebuah beban induktif mengambil 18 A dan 1728 W dari sumber satu fase 120 V (rms). Modelkan sebagai resistansi R yang seri dengan reaktansi X. Cari X.
V = 120 VI = 18 AP = 1728 W
X = Ω
6.Daya AC & faktor dayaSulit
Sebuah beban satu fase mengambil 29 kW pada faktor daya 0,6 tertinggal dari sumber 230 V, 50 Hz. Kapasitor 470 µF dihubungkan paralel dengan beban. Cari faktor daya baru cos φ yang dilihat sumber.
P = 29 kWpf1 = 0,6V = 230 Vf = 50 HzC = 470 µF
cos φ =
7.Impedansi AC & fasorSedang
Sebuah resistor dan sebuah kapasitor dihubungkan paralel ke sumber 24 V (rms), 60 Hz. Cari besar impedansi |Z|.
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
8.Impedansi AC & fasorSulit
Sebuah resistor R1 dihubungkan seri dengan gabungan paralel R2 dan kapasitor C, ke sumber 24 V (rms), 100 Hz. Cari besar impedansi |Z|.
V = 24 V (rms)f = 100 HzR1 = 25 ΩR2 = 100 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
9.Motor DCSedang
Sebuah motor DC menarik 5 A dari catu 110 V. Resistansi jangkarnya 0,8 Ω dan rugi rotasinya (gesekan, hambatan udara, dan besi) 32 W. Cari efisiensinya η.
V = 110 VIa = 5 ARa = 0,8 ΩProt = 32 W
η = %
10.Motor DCSulit
Sebuah motor DC berpenguat terpisah (k = 0,3 V·s/rad pada medan penuh, Ra = 1 Ω, V = 110 V) menggerakkan torsi beban konstan 3,6 N·m. Fluks medan dikurangi menjadi 90 % dari nilai penuhnya. Cari kecepatan baru n.
Sistem tiga fasa seimbang: pada hubungan Y (bintang) tegangan antarsaluran adalah √3 kali tegangan fasa, VL = √3·Vph, dan arus saluran sama dengan arus fasa. Pada hubungan Δ (delta) tegangan antarsaluran sama dengan tegangan fasa dan arus saluran adalah √3 kali arus fasa, IL = √3·Iph. Daya total adalah tiga kali daya satu fasa: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Daya semu
S = √3·VL·IL = √3·208·100 = 36,03 kVA
Daya nyata
P = S·cos φ = 36,03·0,7 = 25,22 kW
Jawaban
P = 25,22 kW
2.Daya tiga fasa
Jawaban: Cph = 2364 µF
Sistem tiga fasa seimbang: pada hubungan Y (bintang) tegangan antarsaluran adalah √3 kali tegangan fasa, VL = √3·Vph, dan arus saluran sama dengan arus fasa. Pada hubungan Δ (delta) tegangan antarsaluran sama dengan tegangan fasa dan arus saluran adalah √3 kali arus fasa, IL = √3·Iph. Daya total adalah tiga kali daya satu fasa: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Perbaikan faktor daya: kapasitor menyuplai daya reaktif secara lokal, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Masing-masing dari ketiga kapasitor menyuplai QC/3 = V²·ω·C, dengan V tegangan pada kapasitor tersebut: VL pada bank Δ, VL/√3 pada bank Y.
Daya reaktif sebelum dan sesudah
Daya nyata tidak berubah, sehingga setiap faktor daya menentukan daya reaktifnya: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,92) = 200·0,426 = 85,2 kvar
Daya reaktif dari kapasitor
QC = Q1 − Q2 = 118,8 kvar
Kapasitansi per fasa
Pada bank Y, setiap kapasitor terhubung di antara satu saluran dan titik bintang.
Transformator ideal: tegangan sebanding dengan jumlah lilitan dan arus berbanding terbalik: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a dan I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, sehingga daya masuk sama dengan daya keluar, V₁·I₁ = V₂·I₂. Impedansi beban Z di sisi sekunder terlihat sebagai a²·Z dari sisi primer.
Hambatan yang dirujuk
Tegangan naik sebesar a dan arus turun sebesar a, sehingga rasio V/I naik sebesar a².
R1′ = a²·RL = 12²·2 = 288 Ω
Jawaban
R1′ = 288 Ω
4.Transformator
Jawaban: Pcu,fl = 246,6 W
Rugi-rugi transformator: rugi inti (histeresis dan arus pusar) bergantung pada tegangan dan sama pada beban berapa pun. Rugi tembaga pada kumparan sebanding dengan kuadrat arus, sehingga pada fraksi x dari beban pengenal besarnya x²·Pcu,fl. Efisiensi η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), dengan Pout = x·S·pf. Efisiensi paling tinggi pada beban saat rugi tembaga sama dengan rugi inti.
Daya keluaran dan masukan
Pout = 50·0,9 = 45 kW
Pin = 45000/0,988 = 45547 W
Rugi total dan rugi tembaga
Ploss = 45547 − 45000 = 546,6 W
Pcu,fl = 546,6 − 300 = 246,6 W
Jawaban
Pcu,fl = 246,6 W
5.Daya AC & faktor daya
Jawaban: X = 4 Ω
Daya AC: daya semu S = V·I (VA) terbagi menjadi daya nyata P = S·cos φ (W), yang melakukan kerja berguna, dan daya reaktif Q = S·sin φ (var), yang bolak-balik antara sumber dan beban. Faktor daya adalah cos φ. Kapasitor paralel memasok daya reaktif secara lokal, sehingga arus saluran turun untuk daya nyata yang sama.
Resistansi dari daya nyata
R = P/I² = 1728/18² = 5,333 Ω
Reaktansi dari impedansi
|Z| = V/I = 120/18 = 6,667 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6,667² − 5,333²) = 4 Ω
Jawaban
X = 4 Ω
6.Daya AC & faktor daya
Jawaban: cos φ = 0,6849
Daya AC: daya semu S = V·I (VA) terbagi menjadi daya nyata P = S·cos φ (W), yang melakukan kerja berguna, dan daya reaktif Q = S·sin φ (var), yang bolak-balik antara sumber dan beban. Faktor daya adalah cos φ. Kapasitor paralel memasok daya reaktif secara lokal, sehingga arus saluran turun untuk daya nyata yang sama.
Daya reaktif sebelum dan sesudah
Daya nyata P tidak berubah; hanya daya reaktif yang ditarik dari sumber yang berubah.
Q1 = 29·tan(arccos 0,6) = 38,67 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·50·470·10⁻⁶ = 7811 var = 7,811 kvar
Q2 = 38,67 − 7,811 = 30,86 kvar
Daya semu baru
S2 = √(29² + 30,86²) = 42,34 kVA
Faktor daya baru
cos φ = P/S2 = 29/42,34 = 0,6849
Jawaban
cos φ = 0,6849
7.Impedansi AC & fasor
Jawaban: |Z| = 22,86 Ω
Rangkaian AC dengan fasor: resistor, induktor, dan kapasitor memiliki impedansi R, jωL, dan 1/(jωC), dengan ω = 2πf. Dalam seri, impedansi dijumlahkan seperti resistansi, tetapi sebagai bilangan kompleks. Arus dan tegangan rms mengikuti hukum Ohm dengan |Z|.
Reaktansi
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Arus cabang
Kedua cabang terhubung langsung ke sumber, jadi masing-masing mendapat tegangan penuh V.
IR = V/R = 24/25 = 0,96 A
IX = V/XC = 24/56,44 = 0,4252 A
Arus total
Arus resistor sefasa dengan V dan arus reaktif berbeda fasa 90°, jadi keduanya dijumlahkan seperti sisi-sisi segitiga siku-siku.
I = √(IR² + IX²) = √(0,96² + 0,4252²) = 1,05 A
Impedansi
|Z| = V/I = 24/1,05 = 22,86 Ω
Jawaban
|Z| = 22,86 Ω
8.Impedansi AC & fasor
Jawaban: |Z| = 106,7 Ω
Rangkaian AC dengan fasor: resistor, induktor, dan kapasitor memiliki impedansi R, jωL, dan 1/(jωC), dengan ω = 2πf. Dalam seri, impedansi dijumlahkan seperti resistansi, tetapi sebagai bilangan kompleks. Arus dan tegangan rms mengikuti hukum Ohm dengan |Z|.
Reaktansi
XC = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω
Gabungan paralel
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan kompleksnya untuk memisahkan Zp menjadi bagian real dan imajiner.
Motor DC: jangkar adalah resistansi Ra yang diseri dengan GGL balik E, sehingga V = E + Ia·Ra. GGL balik naik seiring kecepatan, E = k·ω, dan torsi seiring arus, T = k·Ia, dengan konstanta motor k yang sama (V·s/rad = N·m/A) dalam satuan SI. Ubah kecepatan dengan ω = 2π·n/60. Daya yang dikembangkan adalah E·Ia = T·ω; daya masukan adalah V·Ia, dan selisihnya berasal dari rugi tembaga Ia²Ra dan rugi rotasi. Kecepatan turun secara garis lurus terhadap torsi, ω = V/k − Ra·T/k², dari kecepatan tanpa beban V/k sampai nol pada torsi tertahan k·V/Ra. Saat diam E = 0, jadi arus start V/Ra besar kecuali dibatasi oleh resistor.
Daya-daya
Pin = 110·5 = 550 W
Pdev = 106·5 = 530 W
Pout = 530 − 32 = 498 W
Efisiensi
η = 498/550·100 = 90,55 %
Jawaban
η = 90,55 %
10.Motor DC
Jawaban: n = 3419 rpm
Motor DC: jangkar adalah resistansi Ra yang diseri dengan GGL balik E, sehingga V = E + Ia·Ra. GGL balik naik seiring kecepatan, E = k·ω, dan torsi seiring arus, T = k·Ia, dengan konstanta motor k yang sama (V·s/rad = N·m/A) dalam satuan SI. Ubah kecepatan dengan ω = 2π·n/60. Daya yang dikembangkan adalah E·Ia = T·ω; daya masukan adalah V·Ia, dan selisihnya berasal dari rugi tembaga Ia²Ra dan rugi rotasi. Kecepatan turun secara garis lurus terhadap torsi, ω = V/k − Ra·T/k², dari kecepatan tanpa beban V/k sampai nol pada torsi tertahan k·V/Ra. Saat diam E = 0, jadi arus start V/Ra besar kecuali dibatasi oleh resistor.