Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Metode Penelitian dan Statistika Psikologi: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 16 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
Uji chi-kuadrat
- Statistik uji
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uji kecocokan
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independensi
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai kritis (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soal latihan
1.Metode penelitian dalam psikologiSedang
Untuk memperoleh sampel dengan proporsi mahasiswa tahun pertama, kedua, dan ketiga yang sama dengan populasi universitas, peneliti sebaiknya menggunakan:
- ASampel berstrata
- BSampel bola salju
- CSampel sukarelawan
- DSampel kesempatan
2.Metode penelitian dalam psikologiSulit
Seorang peneliti menemukan bahwa penjualan es krim dan kematian akibat tenggelam berkorelasi positif. Penjelasan mana yang paling masuk akal?
- AKorelasi itu pasti kesalahan perhitungan
- BCuaca panas meningkatkan penjualan es krim dan kegiatan berenang
- CTenggelam meningkatkan penjualan es krim
- DEs krim menyebabkan tenggelam
3.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 48, 46, 50, 26, 16, 25.
n = 6
s =
4.Statistika deskriptifSulit
Nilai ujian berdistribusi normal dengan rata-rata 60 dan simpangan baku 8. Tentukan skor z z untuk nilai 53,6.
μ = 60σ = 8x = 53,6
z =
5.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3
Var(X) =
6.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 0,5X − 3. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15Y = 0,5X − 3
σY =
7.Distribusi normalSedang
Data umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Berapa proporsi yang berada di antara 488 dan 560 h? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 500σ = 40x1 = 488x2 = 560
P =
8.Distribusi normalSulit
umur pakai baterai berdistribusi normal dengan rata-rata 500 h dan simpangan baku 40 h. Seret batas sehingga 80% teratas yang diarsir berada di sebelah kanannya. Cari batas x.
μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
9.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 30 unit memiliki rata-rata 89,5 dan simpangan baku s = 12. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan margin galat E selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 30x̄ = 89,5s = 1299%t(29) = 2,756
E =
10.Selang kepercayaanSulit
Diameter 30 poros hasil permesinan memiliki simpangan baku sampel 0,5 µm. Dengan anggapan diameternya berdistribusi normal, tentukan batas bawah σ selang kepercayaan 95% untuk simpangan baku populasi. Dengan df = 29, 2,5% distribusi χ² berada di bawah 16,047 dan 2,5% berada di atas 45,722.
n = 30s = 0,5 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 80; simpangan baku populasinya diketahui 25. Sampel acak 100 pengamatan memiliki rata-rata 75,2. Uji H₀: μ = 80 melawan H₁: μ ≠ 80. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 80σ = 25n = 100x̄ = 75,2H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2 satuan dengan kuasa 80%. Simpangan bakunya 15. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,05kuasa = 80%δ = 2σ = 15zα = 1,645zβ = 0,842
n =
13.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 5 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Cari koefisien determinasi r² dari garis kuadrat terkecil.
n = 5
r² =
14.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = jam belajar dan y = nilai ujian. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 59?
n = 6ŷ = 59
x =
15.Uji chi-kuadratSedang
Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Hitung statistik chi-kuadrat χ² untuk uji independensi antara variabel baris dan variabel kolom. Jangan gunakan koreksi kontinuitas.
N = 1002 × 3
χ² =
16.Uji chi-kuadratSulit
Uji independensi chi-kuadrat dilakukan pada tabel kontingensi dengan 3 baris dan 6 kolom (tidak termasuk total). Berapa derajat kebebasan df uji tersebut?
3 × 6
df =
3Larutan
1.Metode penelitian dalam psikologi
Jawaban: A · Sampel berstrata
Mengapa ini jawabannya
Sampel berstrata mengidentifikasi subkelompok (strata) dan mengambil sampel acak dari masing-masing sesuai proporsi ukurannya dalam populasi, sehingga sampel lebih representatif.
Jawaban
A · Sampel berstrata
2.Metode penelitian dalam psikologi
Jawaban: B · Cuaca panas meningkatkan penjualan es krim dan kegiatan berenang
Mengapa ini jawabannya
Variabel ketiga, yaitu suhu, menyebabkan keduanya. Ini menggambarkan mengapa korelasi saja tidak dapat menunjukkan kausalitas.
Jawaban
B · Cuaca panas meningkatkan penjualan es krim dan kegiatan berenang
3.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 14,54
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 211/6 = 35,17
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 12,83² + 10,83² + 14,83² + (−9,167)² + (−19,17)² + (−10,17)² = 1057
Simpangan baku
s = √(1057/5) = 14,54
Jawaban
s = 14,54
4.Statistika deskriptif
Jawaban: z = −0,8
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = (53,6 − 60)/8 = −0,8
Jawaban
z = −0,8
5.Peluang
Jawaban: Var(X) = 4,51
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,3
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15,4
Variansi
Var(X) = 15,4 − 3,3² = 4,51
Jawaban
Var(X) = 4,51
6.Peluang
Jawaban: σY = 1,043
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 2,5, Var(X) = 4,35, σX = 2,086
Perubahan linear
σY = |0,5|·2,086 = 1,043
Jawaban
σY = 1,043
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 0,5·2,5 − 3 = −1,75.
7.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,5511
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5
Luas di antara
P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511
Jawaban
P = 0,5511
8.Distribusi normal
Jawaban: x = 466 h
Dari luas kembali ke z: Φ(z) adalah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam tabel. Luas ekor kanan A berarti Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A di antara −z dan z menyisakan (1 − A)/2 pada setiap ekor, sehingga Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, pakai x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0,2
z dari tabel
z ≈ −0,84
Kembali ke satuan semula
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Jawaban
x = 466 h
9.Selang kepercayaan
Jawaban: E = 6,038
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Margin galat
E = 2,756·12/√30 = 6,038
Jawaban
E = 6,038
10.Selang kepercayaan
Jawaban: σ = 0,3982 µm
Selang untuk varians: (n − 1)s²/σ² berdistribusi χ² dengan derajat bebas n − 1. Selang 95% untuk σ² berjalan dari (n − 1)s² dibagi nilai χ² atas (2,5% di atasnya) sampai (n − 1)s² dibagi nilai χ² bawah (2,5% di bawahnya); selang untuk σ adalah akar kuadrat kedua batas itu. Selang ini tidak simetris terhadap s.
Jumlah kuadrat
(n − 1)s² = 29·0,5² = 7,25
Batas untuk σ²
7,25/45,722 = 0,1586
7,25/16,047 = 0,4518
Batas untuk σ
σ = √0,1586 = 0,3982 µm
Jawaban
σ = 0,3982 µm
Selang 95% untuk σ: [0,3982, 0,6722] µm.
11.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,05486
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (75,2 − 80)/2,5 = −1,92
Luas ekor
Φ(1,92) = 0,9726
1 − Φ(1,92) = 0,0274
nilai p
p = 2·0,0274 = 0,05486
Jawaban
p = 0,05486
p > 0,05, jadi H₀ tidak ditolak pada taraf 5%.
12.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 348
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 0,842)·15/2)² = 347,9
Bulatkan ke atas
n = 348
Jawaban
n = 348
13.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r² = 0,9949
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 302/5 = 60,4
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 315,2
Koefisien determinasi
r² = 56²/(10·315,2) = 0,9949
Jawaban
r² = 0,9949
Sekitar 99,49% variasi y dijelaskan oleh garis.
14.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 3,351
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 382/6 = 63,67
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38
Garis regresi
b = 38/17,5 = 2,171
a = 63,67 − 2,171·5,5 = 51,72
ŷ = 51,72 + 2,171·x
Selesaikan untuk x
x = (59 − 51,72)/2,171 = 3,351
Jawaban
x = 3,351
15.Uji chi-kuadrat
Jawaban: χ² = 7,361
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
perkotaan: 60·30/100 = 18, 60·30/100 = 18, 60·40/100 = 24
perdesaan: 40·30/100 = 12, 40·30/100 = 12, 40·40/100 = 16
Statistik chi-kuadrat
χ² = (13 − 18)²/18 + (17 − 18)²/18 + (30 − 24)²/24 + (17 − 12)²/12 + (13 − 12)²/12 + (10 − 16)²/16
χ² = 7,361
Jawaban
χ² = 7,361
df = 2. Pada α = 0,05 nilai kritisnya 5,991, sehingga H₀ (independensi) ditolak.
16.Uji chi-kuadrat
Jawaban: df = 10
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Derajat kebebasan
df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10
Jawaban
df = 10
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology