Statistika deskriptif
- Rata-rata
- x̄ = Σx/n
- Simpangan baku sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang telah diurutkan
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Distribusi normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Metode Penelitian dan Statistika Psikologi: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 16 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Peluang
- Komplemen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Aturan penjumlahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Kejadian saling bebas
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Peluang bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribusi normal
- Skor z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Di antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Metode
- Ubah nilainya menjadi skor z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk suatu selang kurangkan kedua luas kiri.
- Untuk persentil, kerjakan mundur: cari z untuk luasnya, lalu x = μ + z·σ.
Selang kepercayaan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z kritis
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Ukuran sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metode
- Pilih antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 derajat kebebasan).
- Cari nilai kritis untuk tingkat kepercayaannya.
- Margin of error: E = nilai kritis × simpangan baku/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Uji hipotesis & selang kepercayaan
- Uji z untuk rata-rata
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Uji t untuk rata-rata
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua sisi pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1,96
- Selang kepercayaan
- x̄ ± z·σ/√n
Metode
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan apakah ujinya satu sisi atau dua sisi.
- Hitung statistik uji: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai kritis, atau cari nilai p.
- Tolak H₀ jika statistiknya melewati nilai kritis (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulannya dengan kata-kata.
Regresi linear & korelasi
- Jumlah kuadrat
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kemiringan
- b = Sxy/Sxx
- Intersep
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residu
- e = y − ŷ
Uji chi-kuadrat
- Statistik uji
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Uji kecocokan
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Independensi
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Nilai kritis (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Keputusan
- tolak H0 jika χ² > χ²crit
2Soal latihan
1.Metode penelitian dalam psikologiSedang
Jenis data apa yang dikumpulkan dengan pertanyaan terbuka dalam wawancara?
- AData interval
- BData kualitatif
- CData rasio
- DHanya data kuantitatif nominal
2.Metode penelitian dalam psikologiSulit
Sebuah studi dengan 10 peserta menemukan efek yang besar tetapi tidak signifikan. Apa kesimpulan yang paling tepat?
- AStudi itu mungkin kurang memiliki daya (power), sehingga hasilnya tidak meyakinkan
- BEfek itu pasti kesalahan Tipe I
- CUkuran efeknya pasti salah hitung
- DStudi itu membuktikan hipotesis nol benar, karena efeknya tidak signifikan
3.Statistika deskriptifSedang
Tentukan simpangan baku sampel s dari data: 38, 43, 15, 17, 37, 23, 44.
n = 7
s =
4.Statistika deskriptifSulit
Suatu besaran berdistribusi normal dengan rata-rata 70 dan simpangan baku 15. Berapa proporsi P nilai di atas 92,5?
μ = 70σ = 15x = 92,5
P =
5.PeluangSedang
Untuk distribusi yang ditunjukkan, cari variansi Var(X) dari X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1
Var(X) =
6.PeluangSulit
X memiliki distribusi yang ditunjukkan, dan Y = 10X + 20. Cari simpangan baku σY dari Y.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,1, 0,25Y = 10X + 20
σY =
7.Distribusi normalSedang
Data skor IQ berdistribusi normal dengan rata-rata 100 poin dan simpangan baku 15 poin. Berapa proporsi yang berada di antara 96,25 dan 130 poin? Nyatakan P dalam bentuk desimal.
μ = 100σ = 15x1 = 96,25x2 = 130
P =
8.Distribusi normalSulit
Tinggi badan X pria dan Y wanita dalam suatu kelompok saling bebas dan normal: X memiliki rata-rata 180 cm dan simpangan baku 10 cm, Y memiliki rata-rata 170 cm dan simpangan baku 12 cm. Cari peluang P bahwa X lebih besar dari Y. Bulatkan z ke dua desimal.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
9.Selang kepercayaanSedang
Sebuah sampel berisi 12 unit memiliki rata-rata 99,5 dan simpangan baku s = 5,5. Populasinya kira-kira berdistribusi normal. Tentukan batas atas selang kepercayaan 99% untuk rata-rata.
n = 12x̄ = 99,5s = 5,599%t(11) = 3,106
batas atas =
10.Selang kepercayaanSulit
Simpangan baku populasi adalah 27. Seberapa besar ukuran sampel n yang Anda perlukan agar selang kepercayaan 90% untuk rata-rata memiliki margin galat paling banyak 3?
σ = 27E = 390%
n =
11.Uji hipotesis & selang kepercayaanSedang
Rata-rata suatu populasi diklaim sebesar 250; simpangan baku populasinya diketahui 12. Sampel acak 64 pengamatan memiliki rata-rata 253,36. Uji H₀: μ = 250 melawan H₁: μ > 250. Tentukan nilai p p.
μ₀ = 250σ = 12n = 64x̄ = 253,36H₁: μ > μ₀
p =
12.Uji hipotesis & selang kepercayaanSulit
Uji z satu sisi pada α = 0,05 harus mendeteksi pergeseran rata-rata sebesar 2 satuan dengan kuasa 90%. Simpangan bakunya 17. Tentukan ukuran sampel minimum n.
α = 0,05kuasa = 90%δ = 2σ = 17zα = 1,645zβ = 1,282
n =
13.Regresi linear & korelasiSedang
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = suhu dalam °C dan y = es krim terjual. Cari koefisien korelasi Pearson r.
n = 6
r =
14.Regresi linear & korelasiSulit
Tabel memberikan 6 pasang pengamatan x = belanja iklan dalam k€ dan y = penjualan dalam k€. Gunakan garis kuadrat terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x berapa garis memprediksi ŷ = 78?
n = 6ŷ = 78
x =
15.Uji chi-kuadratSedang
Tabel kontingensi menunjukkan frekuensi teramati. Untuk uji independensi chi-kuadrat, cari frekuensi harapan E untuk sel “mahasiswa, sepeda”.
total baris = 85total kolom = 78N = 182
E =
16.Uji chi-kuadratSulit
Tabel menunjukkan frekuensi teramati. Uji pada α = 0,01 apakah kedua variabel independen (tanpa koreksi kontinuitas). Hitung statistik uji χ², lalu bandingkan dengan nilai kritis dari tabel.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Larutan
1.Metode penelitian dalam psikologi
Jawaban: B · Data kualitatif
Mengapa ini jawabannya
Pertanyaan terbuka menghasilkan data kualitatif yang kaya, yang lebih sulit dianalisis secara statistik dibanding jawaban pertanyaan tertutup.
Jawaban
B · Data kualitatif
2.Metode penelitian dalam psikologi
Jawaban: A · Studi itu mungkin kurang memiliki daya (power), sehingga hasilnya tidak meyakinkan
Mengapa ini jawabannya
Dengan sampel kecil, efek yang nyata pun sering gagal mencapai signifikansi (kesalahan Tipe II). Peneliti sebaiknya melaporkan ukuran efek dan interval kepercayaan serta mereplikasi dengan sampel yang lebih besar.
Jawaban
A · Studi itu mungkin kurang memiliki daya (power), sehingga hasilnya tidak meyakinkan
3.Statistika deskriptif
Jawaban: s = 12,34
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Rata-rata
x̄ = 217/7 = 31
Kuadrat simpangan
Σ(x − x̄)² = 7² + 12² + (−16)² + (−14)² + 6² + (−8)² + 13² = 914
Simpangan baku
s = √(914/6) = 12,34
Jawaban
s = 12,34
4.Statistika deskriptif
Jawaban: P = 0,06681
Statistika deskriptif: rata-rata adalah jumlah dibagi n; median adalah nilai tengah data yang terurut (rata-rata dua nilai tengah jika n genap). Simpangan baku sampel s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa simpangan baku suatu nilai dari rata-rata.
Standarkan
z = 1,5
Tabel normal baku
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Jawaban
P = 0,06681
5.Peluang
Jawaban: Var(X) = 1,06
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Rata-rata
μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,1 = 1,2
Rata-rata kuadrat
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,1 = 2,5
Variansi
Var(X) = 2,5 − 1,2² = 1,06
Jawaban
Var(X) = 1,06
6.Peluang
Jawaban: σY = 14,31
Variabel acak diskrit: distribusi peluang mendaftar setiap nilai x yang dapat diambil variabel beserta peluangnya p(x); peluang bernilai antara 0 dan 1 dan jumlahnya 1. Nilai harapan (rata-rata) adalah E(X) = Σx·p(x), rata-rata jangka panjang. Variansi adalah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan simpangan baku σ = √Var(X). Untuk perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah konstanta tidak mengubah sebaran.
Sebaran X
μ = 3,05, Var(X) = 2,048, σX = 1,431
Perubahan linear
σY = |10|·1,431 = 14,31
Jawaban
σY = 14,31
Rata-ratanya memang bergeser: E(Y) = 10·3,05 + 20 = 50,5.
7.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,576
Distribusi normal: ubah nilai x menjadi skor z, z = (x − μ)/σ, yang menghitung berapa simpangan baku dari rata-rata. Tabel z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, yaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan adalah 1 − Φ(z), dan luas di antara dua nilai adalah selisih kedua luasnya.
Skor z
z₁ = (96,25 − 100)/15 = −0,25
z₂ = (130 − 100)/15 = 2
Luas di antara
P = Φ(2) − Φ(−0,25) = 0,9772 − 0,4013 = 0,576
Jawaban
P = 0,576
8.Distribusi normal
Jawaban: P = 0,7389
Jumlah dan selisih variabel normal: jika X dan Y saling bebas dan normal, maka X + Y dan X − Y juga normal. Rata-rata dijumlahkan atau dikurangkan: E(X ± Y) = μX ± μY. Variansi selalu dijumlahkan, juga untuk selisih: Var(X ± Y) = σX² + σY², sehingga σ = √(σX² + σY²). Simpangan baku tidak pernah dijumlahkan secara langsung. Total n butir yang saling bebas dan berdistribusi sama memiliki rata-rata n·μ dan simpangan baku σ·√n. Lalu standarkan seperti biasa: z = (x − rata-rata)/σ dan baca Φ(z).
Distribusi selisih
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standarkan
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Peluang
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Jawaban
P = 0,7389
9.Selang kepercayaan
Jawaban: batas atas = 104,4
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Nilai kritis
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Margin galat
E = 3,106·5,5/√12 = 4,931
Selang
99,5 ± 4,931 → [94,57, 104,4]
Jawaban
batas atas = 104,4
10.Selang kepercayaan
Jawaban: n = 220
Selang kepercayaan untuk rata-rata: x̄ ± margin galat. Jika σ populasi diketahui, margin galatnya z·σ/√n; jika hanya ada simpangan baku sampel s, gunakan t dengan derajat bebas n − 1: t·s/√n. Nilai kritis: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Agar margin galat E atau lebih kecil, Anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1,645·27/3)² = 219,2
Bulatkan ke atas
Ukuran sampel adalah bilangan bulat, dan membulatkan ke bawah akan membuat margin galat terlalu besar.
n = 220
Jawaban
n = 220
11.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: p = 0,01255
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik uji
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (253,36 − 250)/1,5 = 2,24
Luas ekor
Φ(2,24) = 0,9875
1 − Φ(2,24) = 0,0125
nilai p
p = 0,01255
Jawaban
p = 0,01255
p ≤ 0,05, jadi H₀ ditolak pada taraf 5%.
12.Uji hipotesis & selang kepercayaan
Jawaban: n = 619
Ukuran sampel untuk uji: untuk mendeteksi pergeseran nyata δ dengan kuasa 1 − β dalam uji z satu sisi pada taraf α, galat baku harus memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, jadi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibulatkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((1,645 + 1,282)·17/2)² = 619
Bulatkan ke atas
n = 619
Jawaban
n = 619
13.Regresi linear & korelasi
Jawaban: r = 0,9446
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 276/6 = 46
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 432
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1328
Koefisien korelasi
r = 432/√(157,5·1328) = 0,9446
Jawaban
r = 0,9446
14.Regresi linear & korelasi
Jawaban: x = 9,965
Regresi kuadrat terkecil: dengan x̄ dan ȳ sebagai rata-rata, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x memiliki kemiringan b = Sxy/Sxx dan intersep a = ȳ − b·x̄, sehingga garis selalu melalui (x̄, ȳ). Koefisien korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dan 1; r² adalah fraksi variasi y yang dijelaskan oleh garis.
Rata-rata
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 421/6 = 70,17
Jumlah kuadrat dan hasil kali
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Garis regresi
b = 279/70 = 3,986
a = 70,17 − 3,986·8 = 38,28
ŷ = 38,28 + 3,986·x
Selesaikan untuk x
x = (78 − 38,28)/3,986 = 9,965
Jawaban
x = 9,965
15.Uji chi-kuadrat
Jawaban: E = 36,43
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
E = 85·78/182 = 36,43
Jawaban
E = 36,43
16.Uji chi-kuadrat
Jawaban: χ² = 1,429
Uji chi-kuadrat: bandingkan frekuensi teramati O dengan frekuensi E yang diharapkan di bawah H₀ menggunakan χ² = Σ(O − E)²/E. Uji kecocokan: E = n·p untuk setiap kategori, df = k − 1 (dikurangi satu lagi untuk setiap parameter yang diestimasi dari data). Independensi dalam tabel r × c: E = total baris × total kolom / total keseluruhan, df = (r − 1)(c − 1). Tolak H₀ bila χ² melebihi nilai kritis untuk α yang dipilih.
Frekuensi harapan
usia 18–30: 30, 70
usia 31–50: 18, 42
usia 51+: 18, 42
Statistik chi-kuadrat
χ² = (30 − 30)²/30 + (70 − 70)²/70 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (15 − 18)²/18 + (45 − 42)²/42
χ² = 1,429
Keputusan
df = 2, χ²crit = 9,210
1,429 < 9,210
Jawaban
χ² = 1,429
χ² di bawah nilai kritis, sehingga H₀ tidak ditolak: tidak ada bukti signifikan adanya hubungan.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology