Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi kontinu
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan jumlah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Awal, akhir, dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Undak ke e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem orde satu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi orde satu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudo deret Fourier
persegi ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segitiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; deretan pulsa: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Metode
Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.
2Soal latihan
1.Konvolusi & sistem LTISedang
Pulsa x(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 1 s (nol di tempat lain) diberikan ke sistem dengan h(t) = e−1tu(t). Cari keluaran y(3) pada t = 3 s, setelah pulsa berakhir.
x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−1tu(t)t = 3 s
y(3) =
2.Konvolusi & sistem LTISulit
Suatu sistem memenuhi y′(t) + 5·y(t) = 10·x(t). Cari respons impulsnya pada t = 0,5 s, h(0,5).
y′ + 5y = 10xt = 0,5 s
h(0.5) =
3.Transformasi LaplaceSedang
Tentukan f(t) untuk F(s) = 27/(s² + 2s + 10) dengan melengkapkan kuadrat, lalu hitung f(1,5).
F(s) = 27/(s² + 2s + 10)t = 1,5 s
f(1.5) =
4.Transformasi LaplaceSulit
Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 7 dan y′(0) = 2 memakai transformasi Laplace, lalu tentukan y(0,6).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 7y′(0) = 2t = 0,6 s
y(0.6) =
5.Respons langkahSedang
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 48/(s² + 9s + 96) dan menerima masukan langkah satuan. Kutubnya s = σ ± jωd. Tentukan bagian riil σ.
G(s) = 48/(s² + 9s + 96)
σ =
6.Respons langkahSulit
Loop umpan balik negatif satuan memiliki G(s) = K/(s(s + 12)). Tentukan penguatan K yang memberi respons langkah dengan overshoot 25 %.
G(s) = K/(s(s + 12))%OS = 25 %
K =
7.Plot Bode dan marginSedang
Cari fasa ∠G(jω) dari G(s) = 12(s + 9)/(s(s + 16)) pada ω = 4 rad/s, dalam derajat.
G(s) = 12(s + 9)/(s(s + 16))ω = 4 rad/s
∠G(jω) = °
8.Plot Bode dan marginSulit
Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10)). Cari penguatan K yang memberi margin penguatan 20 dB.
L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10))GM = 20 dB
K =
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: y(3) = 0,1711
Konvolusi kontinu: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali bagian-bagian yang tumpang tindih. Untuk sinyal kausal integralnya berjalan dari 0 sampai t. Hasil yang berguna: luas y sama dengan luas x dikali luas h; jika x berlangsung dari t₁ sampai t₂ dan h dari t₃ sampai t₄, maka y berlangsung dari t₁ + t₃ sampai t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan undak setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Keluaran di akhir pulsa
y(1) = (2/1)(1 − e−1) = 1,264
Peluruhan setelah pulsa
y(3) = 1,264·e−1·2 = 0,1711
Jawaban
y(3) = 0,1711
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: h(0.5) = 0,8208
Respons impuls dan deret Fourier: respons impuls h(t) menggambarkan sistem LTI sepenuhnya: untuk y′ + a·y = b·x responsnya h(t) = b·e−atu(t), dan untuk y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] responsnya h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt melewatinya dengan penguatan |H(jω)| dan fase ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Sinyal periodik adalah jumlah harmonisa pada k/T: gelombang persegi ±A hanya memiliki harmonisa ganjil dengan amplitudo 4A/(kπ), gelombang segitiga dengan puncak A memiliki 8A/(π²k²), dan deretan pulsa setinggi A dengan siklus kerja D memiliki rata-rata A·D dan harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Fungsi alih
H(s) = Y(s)/X(s) = 10/(s + 5)
Respons impuls
h(t) = 10·e−5tu(t)
h(0,5) = 10·e−2,5 = 0,8208
Jawaban
h(0,5) = 0,8208
3.Transformasi Laplace
Jawaban: f(1.5) = −1,963
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Lengkapkan kuadrat
s² + 2s + 10 = (s + 1)² + 9 = (s + 1)² + 3²
Cocokkan pembilangnya
F(s) = (27/3)·3/((s + 1)² + 3²)
Transformasi balik
f(t) = e−t·(9·sin 3t)
f(1,5) = e−1,5·(9·sin(3·1,5)) = −1,963
Jawaban
f(1,5) = −1,963
4.Transformasi Laplace
Jawaban: y(0.6) = 3,792
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaannya
s²Y − 7s − 2 + 6(sY − 7) + 8Y = 0
Y(s) = (7s + 44)/((s + 2)(s + 4))
Pecahan parsial
A = 30/2 = 15
B = 16/(−2) = −8
Hasil
y(t) = 15·e−2t − 8·e−4t
y(0,6) = 3,792
Jawaban
y(0,6) = 3,792
Periksa: y(0) = A + B = 7.
5.Respons langkah
Jawaban: σ = −4,5
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk baku
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 96 → ωₙ = 9,798 rad/s
2ζωₙ = 9 → ζ = 9/(2·9,798) = 0,4593
Hasil
σ = −ζωₙ = −9/2 = −4,5
Jawaban
σ = −4,5
6.Respons langkah
Jawaban: K = 220,9
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi alih loop tertutup
T(s) = K/(s² + 12s + K)
Rasio redaman dari overshoot
ζ = −ln(0,25)/√(π² + ln²(0,25)) = 0,4037
Penguatan
ωₙ = 12/(2ζ) = 14,86 rad/s
K = ωₙ² = 220,9
Jawaban
K = 220,9
7.Plot Bode dan margin
Jawaban: ∠G(jω) = −80,07 °
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.