Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi kontinu
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan jumlah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Awal, akhir, dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Undak ke e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem orde satu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi orde satu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudo deret Fourier
persegi ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segitiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; deretan pulsa: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Metode
Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.
2Soal latihan
1.Konvolusi & sistem LTISedang
Pulsa x(t) = 2 untuk 0 ≤ t < 1 s (nol di tempat lain) diberikan ke sistem dengan respons impuls h(t) = 1 untuk 0 ≤ t < 2 s (nol di tempat lain). Cari keluaran y(2) pada t = 2 s.
x(t) = 2, 0 ≤ t < 1 sh(t) = 1, 0 ≤ t < 2 st = 2 s
y(2) =
2.Konvolusi & sistem LTISulit
Masukan x(t) = 2·cos(40t) diberikan ke sistem dengan h(t) = 2·e−20tu(t). Cari fase φ keluaran keadaan tunak relatif terhadap masukan, dalam derajat.
h(t) = 2e−20tu(t)x(t) = 2cos(40t)
φ = °
3.Transformasi LaplaceSedang
Tentukan f(t) untuk F(s) = 55/(s(s + 1)(s + 6)) dengan pecahan parsial, lalu hitung f(1,2).
F(s) = 55/(s(s + 1)(s + 6))t = 1,2 s
f(1.2) =
4.Transformasi LaplaceSulit
Sebuah sistem memenuhi y″ + 6y′ + 8y = 24·u(t), dengan y(0) = 4 dan y′(0) = 0. Pada t = 0 diberikan masukan langkah u(t) = 4. Gunakan transformasi Laplace untuk mencari y(0,1).
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 159/(s² + 3s + 53) dan menerima masukan langkah satuan. Tentukan persen overshoot %OS dari respons langkah.
G(s) = 159/(s² + 3s + 53)
%OS = %
6.Respons langkahSulit
Loop umpan balik negatif satuan memiliki G(s) = K/(s(s + 10)). Tentukan penguatan K yang memberi respons langkah dengan overshoot 30 %.
G(s) = K/(s(s + 10))%OS = 30 %
K =
7.Plot Bode dan marginSedang
Filter lolos rendah RC yang ditunjukkan memiliki R = 47 kΩ, C = 2,2 nF. Masukan sinusoidal 7,7 kHz diberikan. Cari pergeseran fasa φ dari vout relatif terhadap vin, dalam derajat.
R = 47 kΩC = 2,2 nFf = 7,7 kHz
φ = °
8.Plot Bode dan marginSulit
Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = 120/(s(s + 8)). Cari frekuensi persilangan penguatan ωc, tempat |L(jω)| = 1.
L(s) = 120/(s(s + 8))
ωc = rad/s
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: y(2) = 2
Konvolusi kontinu: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali bagian-bagian yang tumpang tindih. Untuk sinyal kausal integralnya berjalan dari 0 sampai t. Hasil yang berguna: luas y sama dengan luas x dikali luas h; jika x berlangsung dari t₁ sampai t₂ dan h dari t₃ sampai t₄, maka y berlangsung dari t₁ + t₃ sampai t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan undak setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Tumpang tindih pulsa yang dibalik
h(t − τ) adalah pulsa h yang dibalik dan digeser sehingga berakhir di τ = t.
τ ∈ [0, 1] → panjang 1 s
Integral
y(2) = 2·1·1 = 2
Jawaban
y(2) = 2
y(t) berbentuk trapesium: naik dari 0, bertahan di 2, dan turun kembali ke 0 pada t = 3 s.
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: φ = −63,43 °
Respons impuls dan deret Fourier: respons impuls h(t) menggambarkan sistem LTI sepenuhnya: untuk y′ + a·y = b·x responsnya h(t) = b·e−atu(t), dan untuk y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] responsnya h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt melewatinya dengan penguatan |H(jω)| dan fase ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Sinyal periodik adalah jumlah harmonisa pada k/T: gelombang persegi ±A hanya memiliki harmonisa ganjil dengan amplitudo 4A/(kπ), gelombang segitiga dengan puncak A memiliki 8A/(π²k²), dan deretan pulsa setinggi A dengan siklus kerja D memiliki rata-rata A·D dan harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Respons frekuensi
H(jω) = 2/(20 + jω)
Fase pada frekuensi masukan
φ = −atan(40/20) = −63,43°
Jawaban
φ = −63,43°
3.Transformasi Laplace
Jawaban: f(1.2) = 5,855
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Pecahan parsial
F(s) = A/s + B/(s + 1) + C/(s + 6)
A = 55/(1·6) = 9,167
B = 55/((−1)·5) = −11
C = 55/((−6)·(−5)) = 1,833
Transformasi balik
f(t) = 9,167 − 11·e−t + 1,833·e−6t
Hitung nilainya
f(1,2) = 9,167 − 11·e−1,2 + 1,833·e−6·1,2 = 5,855
Jawaban
f(1,2) = 5,855
4.Transformasi Laplace
Jawaban: y(0.1) = 4,263
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaannya
(s² + 6s + 8)·Y(s) = 4s + 24 + 96/s
Y(s) = (4s² + 24s + 96)/(s(s + 2)(s + 4))
Pecahan parsial
A = 96/(2·4) = 12
B = 64/((−2)·2) = −16
C = 64/((−4)·(−2)) = 8
Hasil
y(t) = 12 − 16·e−2t + 8·e−4t
y(0,1) = 4,263
Jawaban
y(0,1) = 4,263
Periksa: y(0) = A + B + C = 4.
5.Respons langkah
Jawaban: %OS = 51,61 %
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk baku
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 53 → ωₙ = 7,28 rad/s
2ζωₙ = 3 → ζ = 3/(2·7,28) = 0,206
Hasil
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−0,6615 = 51,61 %
Jawaban
%OS = 51,61 %
6.Respons langkah
Jawaban: K = 195,2
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi alih loop tertutup
T(s) = K/(s² + 10s + K)
Rasio redaman dari overshoot
ζ = −ln(0,3)/√(π² + ln²(0,3)) = 0,3579
Penguatan
ωₙ = 10/(2ζ) = 13,97 rad/s
K = ωₙ² = 195,2
Jawaban
K = 195,2
7.Plot Bode dan margin
Jawaban: φ = −78,7 °
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.
Frekuensi sudut
ωc = 1/(RC) = 1/(47000·2,2 × 10⁻⁹) = 9671 rad/s
fc = 1539 Hz → f/fc = 7700/1539 = 5,003
Fasa
φ = − atan(5,003) = −78,7°
Jawaban
φ = −78,7°
8.Plot Bode dan margin
Jawaban: ωc = 9,602 rad/s
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.