Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi kontinu
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan jumlah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Awal, akhir, dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Undak ke e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem orde satu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi orde satu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudo deret Fourier
persegi ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segitiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; deretan pulsa: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Metode
Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.
2Soal latihan
1.Konvolusi & sistem LTISedang
Suatu sistem memiliki respons impuls h(t) = e−2tu(t). Masukannya adalah undak x(t) = 2·u(t). Cari keluaran y(1) pada t = 1 s.
h(t) = e−2tu(t)x(t) = 2·u(t)t = 1 s
y(1) =
2.Konvolusi & sistem LTISulit
Masukan x(t) = 10·cos(5t) diberikan ke sistem dengan h(t) = 10·e−5tu(t). Cari amplitudo Ym keluaran keadaan tunak.
h(t) = 10e−5tu(t)x(t) = 10cos(5t)
Ym =
3.Transformasi LaplaceSedang
Tentukan f(t) untuk F(s) = (4s + 11)/(s² + 10s + 25) dan hitung f(0,3).
F(s) = (4s + 11)/(s² + 10s + 25)t = 0,3 s
f(0.3) =
4.Transformasi LaplaceSulit
Selesaikan y″ + 6y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 3 dan y′(0) = −15 memakai transformasi Laplace, lalu tentukan y(0,25).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = −15t = 0,25 s
y(0.25) =
5.Respons langkahSedang
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 118/(s² + 4s + 59) dan menerima masukan langkah satuan. Tentukan waktu penetapan 2 % ts dari respons langkah, dengan ts ≈ 4/(ζωₙ).
G(s) = 118/(s² + 4s + 59)
ts = s
6.Respons langkahSulit
Loop umpan balik negatif satuan memiliki G(s) = K/(s(s + 16)). Tentukan penguatan K yang memberi respons langkah dengan overshoot 30 %.
G(s) = K/(s(s + 16))%OS = 30 %
K =
7.Plot Bode dan marginSedang
Cari fasa ∠G(jω) dari G(s) = 30(s + 8)/(s(s + 3)) pada ω = 10 rad/s, dalam derajat.
G(s) = 30(s + 8)/(s(s + 3))ω = 10 rad/s
∠G(jω) = °
8.Plot Bode dan marginSulit
Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8)). Cari penguatan K yang memberi margin penguatan 2 dB.
L(s) = K/(s(s + 4)(s + 8))GM = 2 dB
K =
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: y(1) = 0,8647
Konvolusi kontinu: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali bagian-bagian yang tumpang tindih. Untuk sinyal kausal integralnya berjalan dari 0 sampai t. Hasil yang berguna: luas y sama dengan luas x dikali luas h; jika x berlangsung dari t₁ sampai t₂ dan h dari t₃ sampai t₄, maka y berlangsung dari t₁ + t₃ sampai t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan undak setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Konvolusi dengan undak
y(t) = 2·∫₀ᵗ e−2τ dτ = (2/2)·(1 − e−2t)
Hitung nilainya
y(1) = 1·(1 − e−2) = 0,8647
Jawaban
y(1) = 0,8647
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: Ym = 14,14
Respons impuls dan deret Fourier: respons impuls h(t) menggambarkan sistem LTI sepenuhnya: untuk y′ + a·y = b·x responsnya h(t) = b·e−atu(t), dan untuk y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] responsnya h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt melewatinya dengan penguatan |H(jω)| dan fase ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Sinyal periodik adalah jumlah harmonisa pada k/T: gelombang persegi ±A hanya memiliki harmonisa ganjil dengan amplitudo 4A/(kπ), gelombang segitiga dengan puncak A memiliki 8A/(π²k²), dan deretan pulsa setinggi A dengan siklus kerja D memiliki rata-rata A·D dan harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Respons frekuensi
H(jω) = 10/(5 + jω)
Penguatan pada frekuensi masukan
|H(j5)| = 10/√(5² + 5²) = 1,414
Ym = 10·1,414 = 14,14
Jawaban
Ym = 14,14
3.Transformasi Laplace
Jawaban: f(0.3) = 0,2901
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 10s + 25 = (s + 5)²
Pecahan parsial
4s + 11 = 4(s + 5) + −9
F(s) = 4/(s + 5) − 9/(s + 5)²
Transformasi balik
f(t) = 4·e−5t − 9·t·e−5t
f(0,3) = (4 − 9·0,3)·e−5·0,3 = 0,2901
Jawaban
f(0,3) = 0,2901
4.Transformasi Laplace
Jawaban: y(0.25) = 0,7457
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaannya
s²Y − 3s − (−15) + 6(sY − 3) + 8Y = 0
Y(s) = (3s + 3)/((s + 2)(s + 4))
Pecahan parsial
A = −3/2 = −1,5
B = −9/(−2) = 4,5
Hasil
y(t) = −1,5·e−2t + 4,5·e−4t
y(0,25) = 0,7457
Jawaban
y(0,25) = 0,7457
Periksa: y(0) = A + B = 3.
5.Respons langkah
Jawaban: ts = 2 s
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk baku
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 59 → ωₙ = 7,681 rad/s
2ζωₙ = 4 → ζ = 4/(2·7,681) = 0,2604
Hasil
ζωₙ = 2 → ts ≈ 4/2 = 2 s
Jawaban
ts = 2 s
6.Respons langkah
Jawaban: K = 499,8
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Fungsi alih loop tertutup
T(s) = K/(s² + 16s + K)
Rasio redaman dari overshoot
ζ = −ln(0,3)/√(π² + ln²(0,3)) = 0,3579
Penguatan
ωₙ = 16/(2ζ) = 22,36 rad/s
K = ωₙ² = 499,8
Jawaban
K = 499,8
7.Plot Bode dan margin
Jawaban: ∠G(jω) = −112 °
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.