Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Konvolusi & sistem LTI
Konvolusi diskret
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
Konvolusi kontinu
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
Panjang dan jumlah
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
Awal, akhir, dan luas
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
Undak ke e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
Sistem orde satu
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
Rekursi orde satu
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
Sinusoida melalui h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
Amplitudo deret Fourier
persegi ±A: 4A/(kπ), k ganjil; segitiga ±A: 8A/(π²k²), k ganjil; deretan pulsa: A·D dan (2A/(kπ))|sin kπD|
Metode
Buat sketsa kedua sinyal dan catat di mana masing-masing tidak nol.
Balikkan h dan geser: untuk setiap waktu keluaran, cari rentang tempat kedua sinyal tumpang tindih.
Kalikan dan jumlahkan (diskret) atau kalikan dan integralkan (kontinu) hanya pada tumpang tindih itu.
Periksa hasilnya: keluaran dimulai pada jumlah waktu-waktu awal, berakhir pada jumlah waktu-waktu akhir, dan luas atau jumlahnya adalah hasil kali luas atau jumlah masukan.
2Soal latihan
1.Konvolusi & sistem LTISedang
Suatu sistem memiliki respons impuls h(t) = e−2tu(t). Masukannya adalah undak x(t) = 5·u(t). Cari keluaran y(0,5) pada t = 0,5 s.
h(t) = e−2tu(t)x(t) = 5·u(t)t = 0,5 s
y(0.5) =
2.Konvolusi & sistem LTISulit
Masukan x(t) = 2·cos(7,5t) diberikan ke sistem dengan h(t) = 10·e−5tu(t). Cari fase φ keluaran keadaan tunak relatif terhadap masukan, dalam derajat.
h(t) = 10e−5tu(t)x(t) = 2cos(7,5t)
φ = °
3.Transformasi LaplaceSedang
F(s) = (4s + 12)/(s² + 5s + 4). Transformasi baliknya berbentuk f(t) = A·e−t + B·e−4t. Tentukan koefisien A dengan pecahan parsial.
F(s) = (4s + 12)/(s² + 5s + 4)
A =
4.Transformasi LaplaceSulit
Selesaikan y″ + 9y′ + 18y = 0 dengan y(0) = 9 dan y′(0) = −10 memakai transformasi Laplace, lalu tentukan y(0,3).
y″ + 9y′ + 18y = 0y(0) = 9y′(0) = −10t = 0,3 s
y(0.3) =
5.Respons langkahSedang
Sebuah sistem memiliki fungsi alih G(s) = 114/(s² + 6s + 38) dan menerima masukan langkah satuan. Cari rasio redaman ζ.
G(s) = 114/(s² + 6s + 38)
ζ =
6.Respons langkahSulit
Sebuah massa m = 4 kg tergantung pada pegas k = 100 N/m dengan peredam kental c = 12 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Dalam keadaan seimbang diam, gaya konstan F = 25 N tiba-tiba diberikan. Tentukan waktu tp saat simpangan terbesar.
m = 4 kgk = 100 N/mc = 12 N·s/mF = 25 N
tp = s
7.Plot Bode dan marginSedang
Cari besar eksak |G(jω)| dari G(s) = 1584/((s + 11)(s + 16)) pada ω = 1 rad/s, dalam dB.
G(s) = 1584/((s + 11)(s + 16))ω = 1 rad/s
|G(jω)| = dB
8.Plot Bode dan marginSulit
Lingkar umpan balik satuan memiliki fungsi alih lingkar terbuka L(s) = 64/(s(s + 8)). Cari margin fasa PM dalam derajat.
L(s) = 64/(s(s + 8))
PM = °
3Larutan
1.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: y(0.5) = 1,58
Konvolusi kontinu: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. Balikkan h, geser ke posisi t, lalu integralkan hasil kali bagian-bagian yang tumpang tindih. Untuk sinyal kausal integralnya berjalan dari 0 sampai t. Hasil yang berguna: luas y sama dengan luas x dikali luas h; jika x berlangsung dari t₁ sampai t₂ dan h dari t₃ sampai t₄, maka y berlangsung dari t₁ + t₃ sampai t₂ + t₄. Untuk h(t) = e−atu(t) dan undak setinggi A, y(t) = (A/a)(1 − e−at).
Konvolusi dengan undak
y(t) = 5·∫₀ᵗ e−2τ dτ = (5/2)·(1 − e−2t)
Hitung nilainya
y(0,5) = 2,5·(1 − e−1) = 1,58
Jawaban
y(0,5) = 1,58
2.Konvolusi & sistem LTI
Jawaban: φ = −56,31 °
Respons impuls dan deret Fourier: respons impuls h(t) menggambarkan sistem LTI sepenuhnya: untuk y′ + a·y = b·x responsnya h(t) = b·e−atu(t), dan untuk y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] responsnya h[n] = b·aⁿu[n]. Sinusoida cos ωt melewatinya dengan penguatan |H(jω)| dan fase ∠H(jω), dengan H adalah transformasi Fourier dari h. Sinyal periodik adalah jumlah harmonisa pada k/T: gelombang persegi ±A hanya memiliki harmonisa ganjil dengan amplitudo 4A/(kπ), gelombang segitiga dengan puncak A memiliki 8A/(π²k²), dan deretan pulsa setinggi A dengan siklus kerja D memiliki rata-rata A·D dan harmonisa (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
Respons frekuensi
H(jω) = 10/(5 + jω)
Fase pada frekuensi masukan
φ = −atan(7,5/5) = −56,31°
Jawaban
φ = −56,31°
3.Transformasi Laplace
Jawaban: A = 2,667
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Faktorkan penyebut
s² + 5s + 4 = (s + 1)(s + 4)
F(s) = A/(s + 1) + B/(s + 4)
Aturan tutup (cover-up)
Kalikan dengan (s + 1) dan masukkan s = −1: suku B lenyap.
A = (4s + 12)/(s + 4) |s = −1 = 8/3 = 2,667
Jawaban
A = 2,667
(B = 1,333, jadi f(t) = 2,667·e−t + 1,333·e−4t)
4.Transformasi Laplace
Jawaban: y(0.3) = 5,026
Transformasi Laplace: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt mengubah turunan menjadi perkalian dengan s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Pasangan baku: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), dan pergeseran s → s + σ mengalikan fungsi waktu dengan e−σt. Untuk membalik F(s) rasional, uraikan menjadi pecahan parsial: residu sebuah kutub tunggal p adalah A = [(s − p)·F(s)] pada s = p. Teorema nilai akhir: f(∞) = lims→0 s·F(s), hanya berlaku jika semua kutub s·F(s) berada di setengah bidang kiri. Teorema nilai awal: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Transformasikan persamaannya
s²Y − 9s − (−10) + 9(sY − 9) + 18Y = 0
Y(s) = (9s + 71)/((s + 3)(s + 6))
Pecahan parsial
A = 44/3 = 14,67
B = 17/(−3) = −5,667
Hasil
y(t) = 14,67·e−3t − 5,667·e−6t
y(0,3) = 5,026
Jawaban
y(0,3) = 5,026
Periksa: y(0) = A + B = 9.
5.Respons langkah
Jawaban: ζ = 0,4867
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Bandingkan dengan bentuk baku
Penyebut harus cocok dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ² = 38 → ωₙ = 6,164 rad/s
2ζωₙ = 6 → ζ = 6/(2·6,164) = 0,4867
Hasil
ζ = 0,4867
Jawaban
ζ = 0,4867
6.Respons langkah
Jawaban: tp = 0,6587 s
Respons langkah: sistem orde satu G(s) = K/(τs + 1) menjawab masukan langkah berukuran U dengan y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): mencapai 63,2 % dari nilai akhir K·U setelah satu konstanta waktu τ dan 98 % setelah 4τ. Sistem orde dua G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) memiliki kutub s = −ζωₙ ± jωd dengan ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Untuk 0 < ζ < 1 respons langkahnya melampaui (overshoot): persen overshoot %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), waktu puncak tp = π/ωd, dan waktu penetapan 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Bandingkan penyebut dengan s² + 2ζωₙs + ωₙ² untuk membaca ωₙ dan ζ. Untuk massa–pegas–peredam ωₙ = √(k/m) dan ζ = c/(2√(km)); untuk rangkaian RLC seri ωₙ = 1/√(LC) dan ζ = (R/2)·√(C/L).
Frekuensi alami dan rasio redaman
ωₙ = √(k/m) = √(100/4) = 5 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 12/(2·√(100·4)) = 0,3
Hasil
ωd = 4,77 rad/s
tp = π/ωd = 0,6587 s
Jawaban
tp = 0,6587 s
7.Plot Bode dan margin
Jawaban: |G(jω)| = 19,03 dB
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.
Respons frekuensi: substitusikan s = jω ke fungsi alih. Besar dalam desibel adalah 20·log₁₀|H(jω)| dan fasa adalah jumlah sudut faktor pembilang dikurangi sudut faktor penyebut. Filter RC atau RL orde pertama memiliki frekuensi sudut (−3 dB) pada ωc = 1/(RC) atau R/L, dan fc = ωc/(2π); filter lolos rendah memberi |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) dan φ = −atan(ω/ωc). Pada plot Bode asimtotik (garis lurus) setiap kutub membengkokkan besar ke bawah sebesar 20 dB/dekade pada frekuensi sudutnya, setiap nol membengkokkannya ke atas sebesar 20 dB/dekade, dan integrator 1/s memberi −20 dB/dekade pada semua frekuensi. Persilangan penguatan ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); margin fasa PM = 180° + ∠L(jωc). Persilangan fasa ω180: ∠L(jω) = −180°; margin penguatan GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. Lingkar tertutup stabil bila kedua margin positif.