Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (−5, 4, 2) dan b = (1, −3, 6).

a = (−5, 4, 2)b = (1, −3, 6)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (2, 0, 4) dan b = (1, 5, 3) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂_y.

a = (2, 0, 4)b = (1, 5, 3)n̂_z > 0

n̂_y =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 4 mP₁ = 15 kN di 1,5 mP₂ = 45 kN di 3 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 30 kN di 2 mw = 3 kN/m dari 2 sampai 3 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 60 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 40 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ←

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

7.Rangka & mesinSedang

Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 100 N di A (200 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (80 mm di atas O). Cari besar reaksi pin F_O.

F = 100 NOA = 200 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSulit

Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 0,6 m di bawah A). Balok memikul beban merata 1,5 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 2 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya F_CD pada batang penyangga.

w = 1,5 kN/mP = 2 kNAD = 1,6 mAB = 3 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 7 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 60 kN di 3 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = −5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = (−5)·1 + 4·(−3) + 2·6 = (−5) + (−12) + 12 = −5

Jawaban

a·b = −5

Negatif: sudut di antara kedua vektor lebih dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_y = −0,08909

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·3 − 4·5 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·1 − 2·3 = −2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·5 − 0·1 = 10

Normalkan

Komponen z dari a × b sudah positif.

|a × b| = √((−20)² + (−2)² + 10²) = 22,45

n̂ = (−20, −2, 10)/22,45 = (−0,8909, −0,08909, 0,4454)

n̂_y = −0,08909

Jawaban

n̂_y = −0,08909

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 20,63 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1,5 + 45·3

R_B = 157,5/4 = 39,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 39,38 = 20,63 kN

Jawaban

R_A = 20,63 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 16,88 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·1 = 3 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2 + 3·1·2,5

R_B = 67,5/4 = 16,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 16,88 = 16,13 kN

Jawaban

R_B = 16,88 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −27,04 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 → C_y = 45 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 45 = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −15/0,5547 = −27,04 kN

Jawaban

F_AB = −27,04 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen BF

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul B

AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 7,5 kN (C), BC: 7,5 kN (C), CD: 25 kN (T), DE: 25 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 45,83 kN (C), HE: 41,67 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 45,83 kN (T), HC: 8,333 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: BF

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_O = 269,3 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Gaya di B

Q = 100·200/80 = 250 N

Reaksi pin

O_x = 250 N, O_y = 100 N

F_O = √(250² + 100²) = 269,3 N

Jawaban

F_O = 269,3 N

8.Rangka & mesin

Jawaban: F_CD = 22,7 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Resultan beban merata

w·L = 1,5·3 = 4,5 kN di 1,5 m

Momen terhadap A untuk balok

F_CD·0,3511·1,6 = 4,5·1,5 + 2·3 = 12,75 kN·m

F_CD = 22,7 kN

Jawaban

F_CD = 22,7 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 42 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Potong di x = 7 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 48·7 − 12·7·3,5 = 42 kN·m

Jawaban

M_x = 42 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 127,5 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 2·8·4

R_B = 244/8 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 30,5 = 45,5 kN

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 45,5·3 − 2·3·1,5 = 127,5 kN·m

Jawaban

M_x = 127,5 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

badan: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·105 + 1200·50)/4000 = 88,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·10³/12 + 2800·(105 − 88,5)² = 785633 mm⁴

badan: 12·100³/12 + 1200·(50 − 88,5)² = 2,779 × 10⁶ mm⁴

I_x = 785633 + 2,779 × 10⁶ = 3,564 × 10⁶ mm⁴ = 3,564 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 3,564 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (28800·120 − 800·144)/(28800 − 800) = 119,3 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·240³/12 + 28800·0,6857² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·20³/12 + 800·24,69² = 0,5142 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 137,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics