Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (2, −3, −3) dan b = (3, 4, −1).

a = (2, −3, −3)b = (3, 4, −1)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (−20, 30, 0) N bekerja di titik A(−3, 0, 3). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen z M_z dari momen gaya terhadap titik O(−2, 2, −2).

F = (−20, 30, 0) NA(−3, 0, 3) mO(−2, 2, −2) m

M_z = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 6 m dan beban terpusat P pada 6 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 8 mP = 60 kN di 6 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 6 m

M_A = kN·m

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 12 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 5 mw₀ = 12 kN/mP = 10 kN di 5 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 45 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 10 kNbeban horizontal = 25 kN ←

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 6 m, dan B berada 2,5 m di atas tanah dan 3,6 m di kanan A. Beban vertikal 5 kN bekerja pada batang AB di K, 2,7 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya F_BC pada batang BC.

P = 5 kNL = 6 mH = 2,5 mjarak horizontal A ke B = 3,6 mjarak horizontal A ke K = 2,7 m

F_BC = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4,8 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2,5 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 0,8 m. Gaya horizontal 8 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 8 kNAB = 4,8 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 0,8 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 50 kN·m di x = 1,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mM₀ = 50 kN·m searah jarum jam, di 1,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 10 kN di 1 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 20 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 2·3 + (−3)·4 + (−3)·(−1) = 6 + (−12) + 3 = −3

Jawaban

a·b = −3

Negatif: sudut di antara kedua vektor lebih dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_z = −70 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (−3, 0, 3) − (−2, 2, −2) = (−1, −2, 5) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·0 − 5·30 = −150 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 5·(−20) − (−1)·0 = −100 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·30 − (−2)·(−20) = −70 N·m

Komponen yang diminta

M_z = −70 N·m

Jawaban

M_z = −70 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 576 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m

Momen terhadap dinding

M_A = P·a + W·x̄ = 60·6 + 72·3 = 576 kN·m

Jawaban

M_A = 576 kN·m

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 100 kN·m

Resultan beban segitiga

W = ½·12·5 = 30 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 30·1,667 + 10·5 = 100 kN·m

Jawaban

M_A = 100 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −33,54 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·4 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 30 = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0,8944 = −33,54 kN

Jawaban

F_BC = −33,54 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = 5,657 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·3 − 25·2 → C_y = −4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −4 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−4/0,7071 = 5,657 kN

Jawaban

F_BC = 5,657 kN (tarik)

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_BC = 3,119 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Batang dua gaya BC

BC = √(2,4² + 2,5²) = 3,466 m

Seluruh rangka: momen terhadap A

Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.

F_BC·(2,5/3,466)·6 = 5·2,7

F_BC = 3,119 kN (tekan)

Jawaban

F_BC = 3,119 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 5,882 kN

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y·4,8 = 8·2,5

B_y = 4,167 kN

Kaki BC: momen terhadap C

4,167·2,4 = T·1,7

T = 5,882 kN

Jawaban

T = 5,882 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 35 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/5 = 10 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −10 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −10·1,5 + 50 = 35 kN·m

Jawaban

M_x = 35 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 36 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·1 + 6·10·5

R_B = 310/10 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31 = 39 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 39·1 − 6·1·0,5 = 36 kN·m

Jawaban

M_x = 36 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 32,05 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

badan: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·265 + 2080·130)/4480 = 202,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·10³/12 + 2400·(265 − 202,3)² = 9,449 × 10⁶ mm⁴

badan: 8·260³/12 + 2080·(130 − 202,3)² = 2,26 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,449 × 10⁶ + 2,26 × 10⁷ = 3,205 × 10⁷ mm⁴ = 32,05 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 32,05 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 1000·120)/(20000 − 1000) = 98,95 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·1,053² = 66,69 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·20³/12 + 1000·21,05² = 0,4765 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics