Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (−4, 4, −6) dan b = (−6, 5, 1), dalam derajat.
a = (−4, 4, −6)b = (−6, 5, 1)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−5, 4, 2), b = (2, 5, 0), dan c = (−2, −5, 4).
a = (−5, 4, 2)b = (2, 5, 0)c = (−2, −5, 4)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 8 mP1 = 10 kN di 6 mP2 = 15 kN di 7 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 8 mP = 35 kN di 3 mw = 8 kN/m dari 5 sampai 8 m
RB = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 20 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 20° dengan garis AC. Gaya ke bawah 150 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.
F = 150 Nθ = 20°
Q = N
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 1,2 m di atas tanah. Beban vertikal 6 kN bekerja pada kaki AC di K, 2,25 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 6 kNAB = 6 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 1,2 mjarak horizontal A ke K = 2,25 m
C = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 7,5 mP1 = 60 kN di 5 mP2 = 15 kN di 7,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 8 mP = 25 kN di 3 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 100 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 16 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
b = 160 mmh = 100 mmt = 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Profil I simetris memiliki sayap selebar 130 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 240 mm, dan badan setebal 14 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 20 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = (−4)·(−6) + 4·5 + (−6)·1 = 38
Besar vektor
|a| = √((−4)² + 4² + (−6)²) = 8,246
|b| = √((−6)² + 5² + 1²) = 7,874
Sudut
cos θ = 38/(8,246·7,874) = 0,5852
θ = arccos(0,5852) = 54,18°
Jawaban
θ = 54,18°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: V = 132
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil kali silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·4 − 0·(−5) = 20
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·(−2) − 2·4 = −8
(b × c)z = bxcy − bycx = 2·(−5) − 5·(−2) = 0
Hasil kali titik dengan a
a·(b × c) = (−5)·20 + 4·(−8) + 2·0 = −132
V = |−132| = 132
Jawaban
V = 132
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 20,63 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·8 = 10·6 + 15·7
RB = 165/8 = 20,63 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 20,63 = 4,375 kN
Jawaban
RB = 20,63 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 32,63 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN, bekerja di x̄ = 6,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·3 + 8·3·6,5
RB = 261/8 = 32,63 kN
ΣFy = 0: RA = 59 − 32,63 = 26,38 kN
Jawaban
RB = 32,63 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FAB = −16,49 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 20·1 → Cy = 4 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 4 = 16 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 4/4,123 = 0,9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16/0,9701 = −16,49 kN
Jawaban
FAB = −16,49 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FAC = 21 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 45·4 + 15·2 → Cy = 42 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 42 = 3 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 20° = 150
Flink = 219,3 N
Gaya penjepitan
Q = Flink·cos 20° = 150/(2·tan 20°) = 206,1 N
Jawaban
Q = 206,1 N
Rasio gaya Q/F = 1,374 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.
8.Rangka & mesin
Jawaban: C = 3,602 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Reaksi tumpuan di B
By = 6·2,25/6 = 2,25 kN
Gaya tali pengikat
T = 2,25·3/2,4 = 2,812 kN
Gaya pin pada BC
Cx = 2,812 kN, Cy = −2,25 kN
C = √(2,812² + 2,25²) = 3,602 kN
Jawaban
C = 3,602 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 31,25 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·5 + 15·7,5
RB = 412,5/6 = 68,75 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 68,75 = 6,25 kN
Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri
Mx = RA·5 = 6,25·5 = 31,25 kN·m
Jawaban
Mx = 31,25 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 61,25 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·3 + 5·8·4
RB = 235/8 = 29,38 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 29,38 = 35,63 kN
Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 35,63·2 − 5·2·1 = 61,25 kN·m
Jawaban
Mx = 61,25 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 4,913 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi persegi panjang
Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.
basis: A1 = 160·16 = 2560 mm², y1 = 8 mm
dua kaki: A2 = 2·16·84 = 2688 mm², y2 = 16 + 84/2 = 58 mm
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping
Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.