Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (7, 5, −2) pada b = (0, 4, −2), yaitu komponen a searah b.

a = (7, 5, −2)b = (0, 4, −2)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (0, −2, 3) dan b = (−5, −3, 1) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen x n̂_x.

a = (0, −2, 3)b = (−5, −3, 1)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 2 m dari A. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

L = 6 mP = 80 kN di 3,5 mM = 60 kN·m (berlawanan arah jarum jam) di 2 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 4,5 m dari A, miring 30° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3 m dari A. Cari besar gaya reaksi total R_A di sendi A.

L = 5 mP = 45 kN di 4,5 m, θ = 30°Q = 55 kN di 3 m

R_A = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 50 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 25 kN →

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3,2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 15 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,2 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 15 kNAB = 3,2 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 1,2 m

T = kN

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 3 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 2 m di atas A. Beban 2 kN tergantung di B. Cari besar reaksi pin A.

W = 2 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2 m

A = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 35 kN·m di x = 1 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM₀ = 35 kN·m searah jarum jam, di 1 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 12 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_bawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 5,367

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 7·0 + 5·4 + (−2)·(−2) = 24

Panjang b

|b| = √(0² + 4² + (−2)²) = 4,472

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 24/4,472 = 5,367

Jawaban

comp_b a = 5,367

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂_x = −0,362

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·1 − 3·(−3) = 7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·(−5) − 0·1 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·(−3) − (−2)·(−5) = −10

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(7² + (−15)² + (−10)²) = 19,34

n̂ = −(7, −15, −10)/19,34 = (−0,362, 0,7756, 0,5171)

n̂_x = −0,362

Jawaban

n̂_x = −0,362

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 43,33 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 80·3,5 + 60 = 0

R_B = 220/6 = 36,67 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 80 − 36,67 = 43,33 kN

Jawaban

R_A = 43,33 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 45,9 kN

Komponen P

P_v = 45·sin 30° = 22,5 kN

P_h = 45·cos 30° = 38,97 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·5 = 22,5·4,5 + 55·3 → R_B = 53,25 kN

A_y = 22,5 + 55 − 53,25 = 24,25 kN

A_x = P_h = 38,97 kN

Resultan di A

R_A = √(38,97² + 24,25²) = 45,9 kN

Jawaban

R_A = 45,9 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −28,28 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 20 = 30 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0,7071 = −28,28 kN

Jawaban

F_BC = −28,28 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −4,507 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·3 + 25·2 → C_y = 57,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 57,5 = 2,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −2,5/0,5547 = −4,507 kN

Jawaban

F_AB = −4,507 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: T = 3,462 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y = 15·1,2/3,2 = 5,625 kN

Kaki BC: momen terhadap C

5,625·1,6 = T·2,6

T = 3,462 kN

Jawaban

T = 3,462 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: A = 8,878 kN

Tarikan kabel

T = (2 + 3/2)/0,3714 = 9,424 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 8,75 kN

A_y = 2 + 3 − T·sin β = 1,5 kN

Besar

A = √(8,75² + 1,5²) = 8,878 kN

Jawaban

A = 8,878 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 26,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/4 = 8,75 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −8,75 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −8,75·1 + 35 = 26,25 kN·m

Jawaban

M_x = 26,25 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 14 kN, R₂ = 36 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 28, M_C = 56 kN·m, M_D = 24, M_E = −8, M_F = −40, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 56 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 83,93 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

badan: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·275 + 4160·130)/13160 = 229,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·30³/12 + 9000·(275 − 229,2)² = 1,958 × 10⁷ mm⁴

badan: 16·260³/12 + 4160·(130 − 229,2)² = 6,434 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,958 × 10⁷ + 6,434 × 10⁷ = 8,393 × 10⁷ mm⁴ = 83,93 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 83,93 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 130,2 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

badan: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 2880·90)/5580 = 137,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 137,2)² = 6,888 × 10⁶ mm⁴

badan: 16·180³/12 + 2880·(90 − 137,2)² = 1,419 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,888 × 10⁶ + 1,419 × 10⁷ = 2,107 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 137,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·137,2/2,107 × 10⁷ = 130,2 MPa

Jawaban

σ_bawah = 130,2 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics