Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (−1, −6, −1) dan b = (−1, 3, −5), dalam derajat.
a = (−1, −6, −1)b = (−1, 3, −5)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Sebuah gaya F = (−50, −20, −40) N bekerja di titik A(4, 2, −4). Koordinat dalam meter. Tentukan besar |M| momen gaya terhadap titik O(1, 3, 3).
F = (−50, −20, −40) NA(4, 2, −4) mO(1, 3, 3) m
|M| = N·m
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 5 mP1 = 45 kN di 2,5 mP2 = 50 kN di 3,5 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 6 mP = 30 kN di 3 mw = 12 kN/m dari 3 sampai 6 m
RB = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
F: 20 kN ↓G: 25 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 5 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,8 m di atas tanah. Beban 4 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 4 kNAB = 5 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,8 m
C = kN
8.Rangka & mesinSulit
Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 0,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 5 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.
W = 5 kNWb = 0,5 kNAB = 4 mAC = 1 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 5 mP1 = 45 kN di 2 mP2 = 40 kN di 4 m
Mmax = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
30 kN @ 0 m10 kN @ 12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = (−1)·(−1) + (−6)·3 + (−1)·(−5) = −12
Besar vektor
|a| = √((−1)² + (−6)² + (−1)²) = 6,164
|b| = √((−1)² + 3² + (−5)²) = 5,916
Sudut
cos θ = −12/(6,164·5,916) = −0,329
θ = arccos(−0,329) = 109,2°
Jawaban
θ = 109,2°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: |M| = 493 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektor posisi dari O ke A
r = A − O = (4, 2, −4) − (1, 3, 3) = (3, −1, −7) m
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2,5 + 50·3,5
RB = 287,5/5 = 57,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 57,5 = 37,5 kN
Jawaban
RB = 57,5 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 42 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·3 + 12·3·4,5
RB = 252/6 = 42 kN
ΣFy = 0: RA = 66 − 42 = 24 kN
Jawaban
RB = 42 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·4 = 45·1 + 20·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 26,25 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 3/3,162 = 0,9487
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,9487 = −19,76 kN
Jawaban
FAB = −19,76 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: C = 2,726 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Gaya tali pengikat dari kaki BC
By = 2 kN
T = 2·2,5/2,7 = 1,852 kN
Komponen gaya pin pada BC
Cx = T = 1,852 kN, Cy = −By = −2 kN
Besar
C = √(1,852² + 2²) = 2,726 kN
Jawaban
C = 2,726 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 21,65 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Sudut kabel
BC = √(4² + 1²) = 4,123 m, sin β = 0,2425
Momen terhadap A
T·0,2425·4 = 5·4 + 0,5·2
T = 21,65 kN
Jawaban
T = 21,65 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 70 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2 + 40·4
RB = 250/5 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 50 = 35 kN
Momen di bawah tiap beban
Ambil bagian di kiri tiap beban.
di bawah P1: M = RA·2 = 35·2 = 70 kN·m
di bawah P2: M = RB·1 = 50·1 = 50 kN·m
Nilai terbesar
Mmax = 70 kN·m (di bawah P1)
Jawaban
Mmax = 70 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: B (x = 2 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = −60 kN·m, MC = −53,33, MD = −46,67, ME = −40, MF = −20, MG = 0
Jawaban
Tanda B: MB = −60 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (24000·120 − 1963·144)/(24000 − 1963) = 117,9 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
100·240³/12 + 24000·2,138² = 115,3 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·50⁴/64 + 1963·26,14² = 1,648 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 113,7 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: σbawah = 247,8 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm