Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (−6, −2, 4) dan b = (−6, 4, −3).
a = (−6, −2, 4)b = (−6, 4, −3)
a·b =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Sebuah gaya F = (−50, 50, −10) N bekerja di titik A(3, −4, 3). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen y My dari momen gaya terhadap titik O(3, 3, 1).
F = (−50, 50, −10) NA(3, −4, 3) mO(3, 3, 1) m
My = N·m
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 4 mAC = 6 mP1 = 10 kN di 3,5 mP2 = 40 kN di 6 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 3,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 1,5 m dari A dan beban merata w dari 2 m sampai ujung bebas di 5 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 3,5 mAC = 5 mP = 30 kN di 1,5 mw = 5 kN/m dari 2 sampai 5 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
D: 10 kN ↓F: 15 kN ↓G: 10 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
D: 30 kN ↓G: 20 kN ↓H: 25 kN ←
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC
7.Rangka & mesinSedang
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2 m dan tali pengikat horizontal DE 0,8 m di atas tanah. Beban vertikal 10 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,8 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 10 kNAB = 6 mtinggi C = 2 mtinggi DE = 0,8 mjarak horizontal A ke K = 1,8 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2,5 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 0,6 m. Gaya horizontal 12 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 12 kNAB = 6 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 0,6 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
10 kN @ 3 m15 kN @ 5 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
30 kN @ 12 m45 kN @ 4 m8 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 260 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 180 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
b = 260 mmh = 180 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Profil I simetris memiliki sayap selebar 250 mm dan setebal 22 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 12 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 200 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σj di pertemuan badan dan sayap atas.
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Positif: sudut di antara kedua vektor kurang dari 90°.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: My = −100 N·m
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3,5 + 40·6
RB = 275/4 = 68,75 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 10 + 40 − 68,75 = −18,75 kN
Jawaban
RA = −18,75 kN
RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 17,14 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban merata
W = 5·3 = 15 kN, x̄ = (2 + 5)/2 = 3,5 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·3,5 = 30·1,5 + 15·3,5
RB = 97,5/3,5 = 27,86 kN
RA = 45 − 27,86 = 17,14 kN
Jawaban
RA = 17,14 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen BF
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 10·1,8/6 = 3 kN
Kaki BC: momen terhadap C
3·3 = T·1,2
T = 7,5 kN
Jawaban
T = 7,5 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 7,895 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By·6 = 12·2,5
By = 5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
5·3 = T·1,9
T = 7,895 kN
Jawaban
T = 7,895 kN
T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: D (x = 3 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 7,5 kN, R2 = 17,5 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = 7,5, MC = 15, MD = 22,5 kN·m, ME = 20, MF = 17,5, MG = 0
Jawaban
Tanda D: MD = 22,5 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: C (x = 4 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 61 kN, R2 = 94 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = 106, MC = 180 kN·m, MD = 132, ME = 52, MF = −60, MG = 0
Jawaban
Tanda C: MC = 180 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 33,91 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi persegi panjang
Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.
basis: A1 = 260·18 = 4680 mm², y1 = 9 mm
dua kaki: A2 = 2·18·162 = 5832 mm², y2 = 18 + 162/2 = 99 mm
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping
Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.