Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (6, 3, 6) pada b = (6, 2, −5), yaitu komponen a searah b.

a = (6, 3, 6)b = (6, 2, −5)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (2, −4, −3) dan b = (−1, 0, 4).

a = (2, −4, −3)b = (−1, 0, 4)

A =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 4 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 7 m dari A. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

L = 10 mP = 45 kN di 4 mM = 25 kN·m (berlawanan arah jarum jam) di 7 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (2,5 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (6 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A. Cari reaksi R_D di rol.

AC = 2,5 mAD = 6 mP = 60 kN di 3,5 m

R_D = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 60 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 60 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_BC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 12° dengan garis AC. Gaya ke bawah 400 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.

F = 400 Nθ = 12°

Q = N

8.Rangka & mesinSulit

Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1 m di bawah A). Balok memikul beban merata 3 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 10 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya F_CD pada batang penyangga.

w = 3 kN/mP = 10 kNAD = 0,8 mAB = 2 mAC = 1 m

F_CD = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 9,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur M_B di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

M_B = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 140 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 150 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 140 mmh = 150 mmt = 10 mm

ȳ = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 1,488

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 6·6 + 3·2 + 6·(−5) = 12

Panjang b

|b| = √(6² + 2² + (−5)²) = 8,062

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 12/8,062 = 1,488

Jawaban

comp_b a = 1,488

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 17,23

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·4 − (−3)·0 = −16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−1) − 2·4 = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·0 − (−4)·(−1) = −4

Luas

A = |a × b| = √((−16)² + (−5)² + (−4)²) = 17,23

Jawaban

A = 17,23

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 29,5 kN

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 45·4 + 25 = 0

R_B = 155/10 = 15,5 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 45 − 15,5 = 29,5 kN

Jawaban

R_A = 29,5 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_D = 17,14 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣM_C = 0: R_D·3,5 = 60·1

R_D = 17,14 kN

V_C = 60 − 17,14 = 42,86 kN

Jawaban

R_D = 17,14 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 11,25 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,8 = −18,75 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,75)·0,6 = 11,25 kN

Jawaban

F_AC = 11,25 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −37,12 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 60·1 + 15·3 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 26,25 = 33,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26,25/0,7071 = −37,12 kN

Jawaban

F_BC = −37,12 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: Q = 940,9 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Keseimbangan pin B

2·F_link·sin 12° = 400

F_link = 961,9 N

Gaya penjepitan

Q = F_link·cos 12° = 400/(2·tan 12°) = 940,9 N

Jawaban

Q = 940,9 N

Rasio gaya Q/F = 2,352 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.

8.Rangka & mesin

Jawaban: F_CD = 41,62 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Resultan beban merata

w·L = 3·2 = 6 kN di 1 m

Momen terhadap A untuk balok

F_CD·0,7809·0,8 = 6·1 + 10·2 = 26 kN·m

F_CD = 41,62 kN

Jawaban

F_CD = 41,62 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 7,125 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Potong di x = 9,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 15·9,5 − 3·9,5·4,75 = 7,125 kN·m

Jawaban

M_x = 7,125 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_B = −37,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8,5 = 102 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·8,5·4,25

R_B = 433,5/6 = 72,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 102 − 72,25 = 29,75 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

M_B = −w·a²/2 = −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m

Jawaban

M_B = −37,5 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 55 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 140·10 = 1400 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·140 = 2800 mm², y₂ = 10 + 140/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (1400·5 + 2800·80)/4200 = 55 mm

Jawaban

ȳ = 55 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 7,893 kN·m

Titik berat

ȳ = (4800·235 + 2640·110)/7440 = 190,6 mm

tepi atas: c = 250 − 190,6 = 59,35 mm

Momen inersia penampang

I = 160·30³/12 + 4800·44,35² + 12·220³/12 + 2640·80,65² = 3,762 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 100·3,762 × 10⁷/59,35 = 63,38 kN·m

tepi bawah: M = 40·3,762 × 10⁷/190,6 = 7,893 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 7,893 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 7,893 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics