Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (3, 5, −5) dan b = (2, −2, −1), dalam derajat.
a = (3, 5, −5)b = (2, −2, −1)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(4, 1, −3), B(−2, −3, −3), dan C(−2, 2, 3). Koordinat dalam meter.
A(4, 1, −3)B(−2, −3, −3)C(−2, 2, 3)
A = m²
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, naik dari nol di A sampai 6 kN/m di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 4 mw0 = 6 kN/m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 6 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 3 m dari A dan beban merata w dari 4 m sampai ujung bebas di 10 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 6 mAC = 10 mP = 70 kN di 3 mw = 3 kN/m dari 4 sampai 10 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
F: 30 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m, dengan pin puncaknya C setinggi 2,5 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 4 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,25 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 4 kNAB = 2 mtinggi C = 2,5 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 0,25 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2,4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 3 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1,2 m. Gaya horizontal 4 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 4 kNAB = 2,4 mtinggi C = 3 mtinggi DE = 1,2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1,5 m dari A. Cari momen lentur Mx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 4 mP = 25 kN di 1,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 10 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Pipa bulat memiliki diameter luar D = 160 mm dan diameter dalam d = 152 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.
D = 160 mmd = 152 mm
r = mm
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 3·2 + 5·(−2) + (−5)·(−1) = 1
Besar vektor
|a| = √(3² + 5² + (−5)²) = 7,681
|b| = √(2² + (−2)² + (−1)²) = 3
Sudut
cos θ = 1/(7,681·3) = 0,0434
θ = arccos(0,0434) = 87,51°
Jawaban
θ = 87,51°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: A = 26,32 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban segitiga
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 2,667 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·4 = 12·2,667
RB = 8 kN
RA = 12 − 8 = 4 kN
Jawaban
RB = 8 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 32 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban merata
W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·6 = 70·3 + 18·7
RB = 336/6 = 56 kN
RA = 88 − 56 = 32 kN
Jawaban
RA = 32 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul B
AB dan BC terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan BF.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 4·0,25/2 = 0,5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
0,5·1 = T·1,5
T = 0,3333 kN
Jawaban
T = 0,3333 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 3,333 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By·2,4 = 4·3
By = 5 kN
Kaki BC: momen terhadap C
5·1,2 = T·1,8
T = 3,333 kN
Jawaban
T = 3,333 kN
T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = −55,63 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Ambil bagian ujung bebas
P: −25·1 = −25 kN·m
w: −5·3,5²/2 = −30,63 kN·m
Mx = −25 − 30,63 = −55,63 kN·m
Jawaban
Mx = −55,63 kN·m
Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 115,2 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·8·4
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 32 = 48 kN
Gaya geser nol
Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.
Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.
Luas bersih dan momen inersia
A = π(D² − d²)/4 = 1960 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,967 × 10⁶ mm⁴
Jari-jari girasi
r = √(I/A) = √(5,967 × 10⁶/1960) = 55,17 mm
Jawaban
r = 55,17 mm
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: σbawah = 164,7 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm
badan: Aw = 18·240 = 4320 mm², yw = 240/2 = 120 mm