Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (−4, 4, 4) dan b = (−2, 1, −5), dalam derajat.

a = (−4, 4, 4)b = (−2, 1, −5)

θ = °

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (−30, 50, −20) N bekerja di titik A(1, 1, 1). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen x M_x dari momen gaya terhadap titik O(2, 0, 0).

F = (−30, 50, −20) NA(1, 1, 1) mO(2, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana (sendi di A, rol di B) menahan beban yang berubah linear, turun dari 12 kN/m di A sampai nol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mw₀ = 12 kN/m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, sebesar 10 kN/m di dinding dan turun sampai nol di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 1,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 4 mw₀ = 10 kN/mP = 35 kN di 1,5 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 40 kN ↓F: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 35 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

F: 40 kN →G: 35 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1 m di atas tanah. Beban 4 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 4 kNAB = 2 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4 m, dan diikat oleh batang horizontal DE pada 1 m. Gaya horizontal 10 kN ke kanan bekerja di C. Cari tarikan T pada tali pengikat.

P = 10 kNAB = 4 mtinggi C = 4 mtinggi DE = 1 m

T = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 8 m15 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 0 m30 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 102,2 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−4)·(−2) + 4·1 + 4·(−5) = −8

Besar vektor

|a| = √((−4)² + 4² + 4²) = 6,928

|b| = √((−2)² + 1² + (−5)²) = 5,477

Sudut

cos θ = −8/(6,928·5,477) = −0,2108

θ = arccos(−0,2108) = 102,2°

Jawaban

θ = 102,2°

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_x = −70 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (1, 1, 1) − (2, 0, 0) = (−1, 1, 1) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−20) − 1·50 = −70 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·(−30) − (−1)·(−20) = −50 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·50 − 1·(−30) = −20 N·m

Komponen yang diminta

M_x = −70 N·m

Jawaban

M_x = −70 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 40 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Resultan beban segitiga

W = ½·12·10 = 60 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3,333

R_B = 20 kN

R_A = 60 − 20 = 40 kN

Jawaban

R_A = 40 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 79,17 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·10·4 = 20 kN

x̄ = L/3 = 1,333 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 20·1,333 + 35·1,5 = 79,17 kN·m

Jawaban

M_A = 79,17 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 101,7 kN (T), BC: 110 kN (T), CD: 110 kN (T), DE: 78,33 kN (T), FG: 101,7 kN (C), GH: 78,33 kN (C), AF: 127,1 kN (C), HE: 97,92 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 23,75 kN (T), BG: 10,42 kN (C), DG: 39,58 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 47,5 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 47,5 kN (C), GH: 27,5 kN (C), AF: 10,61 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 38,89 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 2,08 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 2 kN

T = 2·1/3,5 = 0,5714 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 0,5714 kN, C_y = −B_y = −2 kN

Besar

C = √(0,5714² + 2²) = 2,08 kN

Jawaban

C = 2,08 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 6,667 kN

Seluruh rangka: momen terhadap A

B_y·4 = 10·4

B_y = 10 kN

Kaki BC: momen terhadap C

10·2 = T·3

T = 6,667 kN

Jawaban

T = 6,667 kN

T positif berarti tali pengikat mengalami tarik, seperti yang diasumsikan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 24,17 kN, R₂ = 40,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 48,33, M_C = 96,67, M_D = 145, M_E = 163,3 kN·m, M_F = 81,67, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 163,3 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 90 kN, R₂ = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −45 kN·m, M_C = 0, M_D = −10, M_E = −20, M_F = −30, M_G = 0

Jawaban

Tanda B: M_B = −45 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 69,92 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

badan: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·310 + 3000·150)/7800 = 248,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·20³/12 + 4800·(310 − 248,5)² = 1,834 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·300³/12 + 3000·(150 − 248,5)² = 5,158 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,834 × 10⁷ + 5,158 × 10⁷ = 6,992 × 10⁷ mm⁴ = 69,92 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 69,92 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 223 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

badan: A_w = 18·120 = 2160 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·127,5 + 2160·60)/4260 = 93,27 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·15³/12 + 2100·(127,5 − 93,27)² = 2,499 × 10⁶ mm⁴

badan: 18·120³/12 + 2160·(60 − 93,27)² = 4,984 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,499 × 10⁶ + 4,984 × 10⁶ = 7,483 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 135 − 93,27 = 41,73 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·41,73/7,483 × 10⁶ = 223 MPa

Jawaban

σ_atas = 223 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics