Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzdFAB

Gaya konstan F = (−20, −5, 30) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(0, 0, 4) ke titik B(−3, −4, −2). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (−20, −5, 30) NA(0, 0, 4) mB(−3, −4, −2) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzABC

Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(−4, 2, 2), B(2, −4, 4), dan C(3, −2, 3). Koordinat dalam meter.

A(−4, 2, 2)B(2, −4, 4)C(3, −2, 3)
A = m²
3.Reaksi tumpuan balokSedang
w = 6 kN/mP = 25 kNABMA​ = ?3,5 m2,5 m

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada 3,5 m dari dinding. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

L = 6 mP = 25 kN di 3,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 6 m
MA = kN·m
4.Reaksi tumpuan balokSulit
P = 75 kNQ = 75 kNADCMA​ = ?1 m2 m3 m2 m

Sebuah balok majemuk dijepit ke dinding di A, memiliki sendi dalam di C (3 m dari A), dan bertumpu pada rol di D (8 m dari A). Balok menahan beban terpusat P pada 6 m dari A dan beban terpusat Q pada 1 m dari A. Cari besar momen reaksi MA di dinding.

AC = 3 mAD = 8 mP = 75 kN di 6 mQ = 75 kN di 1 m
MA = kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH35 kN15 kN40 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 35 kN ↓D: 15 kN ↓F: 40 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH20 kN40 kN20 kN35 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 20 kN ↓F: 40 kN ↓F: 20 kN →G: 35 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
6 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1,2 m di bawah A. Beban 6 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.

P = 6 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Rangka & mesinSulit
8 kN0,5 kN4 m1,5 mABC

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 0,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1,5 m di atas A. Beban 8 kN tergantung di B. Cari besar reaksi pin A.

W = 8 kNWb = 0,5 kNAB = 4 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
55 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 6 m30 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 24 kN/mAB5 m5 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 10 mw = 24 kN/m dari 5 sampai 10 m
x0 = m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
2402528012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 240 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
1201030010xM = 20 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 300 mmM = 20 kN·m
σbawah = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −100 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (−3, −4, −2) − (0, 0, 4) = (−3, −4, −6) m

Usaha

W = F·d = (−20)·(−3) + (−5)·(−4) + 30·(−6) = −100 J

Jawaban

W = −100 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: A = 9,899 m²

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektor sisi

AB = B − A = (6, −6, 2)
AC = C − A = (7, −4, 1)

Hasil kali silang

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = (−6)·1 − 2·(−4) = 2
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = 2·7 − 6·1 = 8
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 6·(−4) − (−6)·7 = 18
|AB × AC| = √(2² + 8² + 18²) = 19,8

Luas segitiga

A = ½·19,8 = 9,899 m²

Jawaban

A = 9,899 m²
3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 195,5 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban merata

W = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m

Momen terhadap dinding

MA = P·a + W·x̄ = 25·3,5 + 36·3 = 195,5 kN·m

Jawaban

MA = 195,5 kN·m
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: MA = 165 kN·m

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan. Sendi dalam tidak dapat menahan momen lentur, sehingga memberi satu persamaan tambahan: momen terhadap sendi dari gaya-gaya di salah satu sisi sama dengan nol.

Bagian CD

Sendi tidak memiliki momen, jadi momen terhadap C pada CD saja harus seimbang.

ΣMC = 0: RD·5 = 75·3
RD = 45 kN
VC = 75 − 45 = 30 kN

Bagian AC

Gaya sendi VC bekerja ke bawah pada AC (sama besar dan berlawanan arah dengan aksinya pada CD).

RA = 75 + 30 = 105 kN
MA = 75·1 + 30·3 = 165 kN·m

Jawaban

MA = 165 kN·m
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 60 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 45 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), BG: 21,21 kN (T), DG: 21,21 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 85 kN (T), BC: 96,67 kN (T), CD: 96,67 kN (T), DE: 61,67 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 61,67 kN (C), AF: 81,25 kN (C), HE: 77,08 kN (C), BF: 8,75 kN (T), CG: 0, DH: 46,25 kN (T), BG: 14,58 kN (C), DG: 43,75 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Rangka & mesin

Jawaban: A = 14,15 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya batang penyangga

FCD = 6·1,5/(0,9231·0,5) = 19,5 kN

Komponen di A

Ax = FCD·cos α = 7,5 kN (menuju dinding)
Ay = 6 − FCD·sin α = −12 kN

Besar

A = √(7,5² + −12²) = 14,15 kN

Jawaban

A = 14,15 kN

Ay negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawaban: A = 22 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Tarikan kabel

T = (8 + 0,5/2)/0,3511 = 23,5 kN

Komponen di A

Ax = T·cos β = 22 kN
Ay = 8 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Besar

A = √(22² + 0,25²) = 22 kN

Jawaban

A = 22 kN
9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 32,5 kN, R2 = 52,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 65, MC = 130, MD = 195 kN·m, ME = 150, MF = 105, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 195 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 6,25 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 24·5 = 120 kN, bekerja di x̄ = 7,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 24·5·7,5
RB = 900/10 = 90 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 90 = 30 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 5) = 0
x0 = 5 + 30/24 = 6,25 m

Jawaban

x0 = 6,25 m
11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 72,35 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 240·25 = 6000 mm², yf = 280 + 25/2 = 292,5 mm
badan: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·292,5 + 3360·140)/9360 = 237,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·25³/12 + 6000·(292,5 − 237,8)² = 1,829 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·280³/12 + 3360·(140 − 237,8)² = 5,406 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,829 × 10⁷ + 5,406 × 10⁷ = 7,235 × 10⁷ mm⁴ = 72,35 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 72,35 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 90,15 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 300 + 10/2 = 305 mm
badan: Aw = 10·300 = 3000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·305 + 3000·150)/4200 = 194,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·10³/12 + 1200·(305 − 194,3)² = 1,472 × 10⁷ mm⁴
badan: 10·300³/12 + 3000·(150 − 194,3)² = 2,838 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,472 × 10⁷ + 2,838 × 10⁷ = 4,31 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 194,3 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·194,3/4,31 × 10⁷ = 90,15 MPa

Jawaban

σbawah = 90,15 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics