Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan sudut θ antara vektor a = (6, −5, −3) dan b = (3, 3, 6), dalam derajat.
a = (6, −5, −3)b = (3, 3, 6)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (4, 3, 4) dan b = (2, 0, 1).
a = (4, 3, 4)b = (2, 0, 1)
A =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 8 mP1 = 50 kN di 3 mP2 = 35 kN di 4 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 6 mP = 10 kN di 3 mw = 8 kN/m dari 4 sampai 5 m
RB = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 8 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FAC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 4,8 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 0,8 m di atas tanah. Beban vertikal 4 kN bekerja pada kaki AC di K, 0,96 m (secara horizontal) dari A. Cari tarikan T pada tali pengikat.
P = 4 kNAB = 4,8 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 0,8 mjarak horizontal A ke K = 0,96 m
T = kN
8.Rangka & mesinSulit
Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1 m di bawah A). Balok memikul beban merata 4 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 5 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya FCD pada batang penyangga.
w = 4 kN/mP = 5 kNAD = 1,6 mAB = 2 mAC = 1 m
FCD = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 15 kN·m di x = 4,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 6 mM0 = 15 kN·m searah jarum jam, di 4,5 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 10 mP = 60 kN di 4 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Pipa bulat memiliki diameter luar D = 170 mm dan diameter dalam d = 138 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.
D = 170 mmd = 138 mm
r = mm
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 120 mmh = 300 mmpotongan: 80 × 40 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: θ = 104,1 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 6·3 + (−5)·3 + (−3)·6 = −15
Besar vektor
|a| = √(6² + (−5)² + (−3)²) = 8,367
|b| = √(3² + 3² + 6²) = 7,348
Sudut
cos θ = −15/(8,367·7,348) = −0,244
θ = arccos(−0,244) = 104,1°
Jawaban
θ = 104,1°
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: A = 7,81
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil kali silang
(a × b)x = aybz − azby = 3·1 − 4·0 = 3
(a × b)y = azbx − axbz = 4·2 − 4·1 = 4
(a × b)z = axby − aybx = 4·0 − 3·2 = −6
Luas
A = |a × b| = √(3² + 4² + (−6)²) = 7,81
Jawaban
A = 7,81
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 48,75 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 35·4
RB = 290/8 = 36,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 36,25 = 48,75 kN
Jawaban
RA = 48,75 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 11 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3 + 8·1·4,5
RB = 66/6 = 11 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 11 = 7 kN
Jawaban
RB = 11 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FAC = 37,5 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·2 → Cy = 12,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 12,5 = 37,5 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 2/6,325 = 0,3162, cos γ = 6/6,325 = 0,9487
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·5 − 20·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 30 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −30/0,5145 = −58,31 kN
Jawaban
FAB = −58,31 kN (tekan)
7.Rangka & mesin
Jawaban: T = 0,6857 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Seluruh rangka: momen terhadap A
By = 4·0,96/4,8 = 0,8 kN
Kaki BC: momen terhadap C
0,8·2,4 = T·2,8
T = 0,6857 kN
Jawaban
T = 0,6857 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: FCD = 21,23 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Resultan beban merata
w·L = 4·2 = 8 kN di 1 m
Momen terhadap A untuk balok
FCD·0,53·1,6 = 8·1 + 5·2 = 18 kN·m
FCD = 21,23 kN
Jawaban
FCD = 21,23 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = −11,25 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.
Reaksi tumpuan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 15/6 = 2,5 kN (ke atas)
RA = −RB = −2,5 kN (ke bawah)
Potong tepat di kiri kopel
Bagian kiri hanya memuat RA.
Mx = RA·a = −2,5·4,5 = −11,25 kN·m
Jawaban
Mx = −11,25 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 156,8 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·4 + 2·10·5
RB = 340/10 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 34 = 46 kN
Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.
Luas bersih dan momen inersia
A = π(D² − d²)/4 = 7741 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,32 × 10⁷ mm⁴
Jari-jari girasi
r = √(I/A) = √(2,32 × 10⁷/7741) = 54,74 mm
Jawaban
r = 54,74 mm
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 256,9 × 10⁶ mm⁴
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (36000·150 − 3200·90)/(36000 − 3200) = 155,9 mm