Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan nilai k agar vektor a = (−5, −5, 3) dan b = (−1, k, −2) saling tegak lurus.
a = (−5, −5, 3)b = (−1, k, −2)
k =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (−4, −3, −2), b = (4, 1, 2), dan c = (1, 0, −4).
a = (−4, −3, −2)b = (4, 1, 2)c = (1, 0, −4)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.
L = 10 mP1 = 25 kN di 2 mP2 = 60 kN di 7 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 1,5 m dari A, miring 45° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 5,5 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.
L = 6 mP = 10 kN di 1,5 m, θ = 45°Q = 65 kN di 5,5 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 35 kN ↓G: 30 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Pada penjepit toggle yang ditunjukkan, dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang dipasang dengan pin di B, dan masing-masing membentuk sudut 8° dengan garis AC. Gaya ke bawah 500 N dikenakan di B. Penggeser C menekan benda kerja. Dengan mengabaikan gesekan dan berat, cari gaya penjepitan horizontal Q.
F = 500 Nθ = 8°
Q = N
8.Rangka & mesinSulit
Sebuah pres toggle memiliki dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang, masing-masing sepanjang 200 mm di antara pin. Sambungan B berada 10 mm di atas garis AC. Berapa gaya ke bawah F di B yang menghasilkan gaya penekan horizontal 1500 N pada penggeser C? Abaikan gesekan dan berat.
Q = 1500 NAB = BC = 200 mmh = 10 mm
F = N
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
45 kN @ 6 m8 kN/m, 2–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 7,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 8 mP = 35 kN di 6 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 7,5 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 150 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 156 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 20 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik sama dengan nol
a·b = (−5)·(−1) + (−5)·k + 3·(−2) = 0
−1 + (−5)·k = 0
Selesaikan untuk k
k = −(−1)/(−5) = −0,2
Jawaban
k = −0,2
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: V = 36
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Hasil kali silang b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 1·(−4) − 2·0 = −4
(b × c)y = bzcx − bxcz = 2·1 − 4·(−4) = 18
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·0 − 1·1 = −1
Hasil kali titik dengan a
a·(b × c) = (−4)·(−4) + (−3)·18 + (−2)·(−1) = −36
V = |−36| = 36
Jawaban
V = 36
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 47 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·10 = 25·2 + 60·7
RB = 470/10 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 47 = 38 kN
Jawaban
RB = 47 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 12,84 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·2 − 10·3 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 8 = 27 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Keseimbangan pin B
2·Flink·sin 8° = 500
Flink = 1796 N
Gaya penjepitan
Q = Flink·cos 8° = 500/(2·tan 8°) = 1779 N
Jawaban
Q = 1779 N
Rasio gaya Q/F = 3,558 tumbuh tanpa batas saat batang penghubung meluruskan diri.
8.Rangka & mesin
Jawaban: F = 150,2 N
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Sudut batang
sin θ = 10/200 = 0,05, θ = 2,866°
Gaya batang
Flink = Q/cos θ = 1502 N
Gaya di B
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 150,2 N
Jawaban
F = 150,2 N
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: D (x = 6 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 55,83 kN, R2 = 69,17 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = 111,7, MC = 207,3, MD = 271 kN·m, ME = 212,7, MF = 122,3, MG = 0
Jawaban
Tanda D: MD = 271 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 31,88 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 35·6 + 10·8·4
RB = 530/8 = 66,25 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 66,25 = 48,75 kN
Potong di x = 7,5 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (36000·120 − 1963·156)/(36000 − 1963) = 117,9 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
150·240³/12 + 36000·2,077² = 173 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·50⁴/64 + 1963·38,08² = 3,154 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: σbawah = 216 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 180·30 = 5400 mm², yf = 120 + 30/2 = 135 mm