Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan nilai k agar vektor a = (4, −5, 6) dan b = (k, 3, 5) saling tegak lurus.

a = (4, −5, 6)b = (k, 3, 5)

k =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (−60, −40, 50) N bekerja di titik A(−1, 2, 2). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen z M_z dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).

F = (−60, −40, 50) NA(−1, 2, 2) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP₁ = 10 kN di 4 mP₂ = 30 kN di 5 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 5 mP = 25 kN di 4 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 5 m

R_A = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 55 kN

F_AC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 35 kNbeban horizontal = 15 kN →

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3,2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2,4 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,2 m di atas tanah. Beban 2 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 2 kNAB = 3,2 mtinggi C = 2,4 mtinggi DE = 1,2 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 6 m, dengan pin puncaknya C setinggi 4 m dan tali pengikat horizontal DE 1 m di atas tanah. Beban vertikal 10 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,5 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 10 kNAB = 6 mtinggi C = 4 mtinggi DE = 1 mjarak horizontal A ke K = 1,5 m

C = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 30 kN di 2,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_A = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 0 m45 kN @ 6 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 100 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 400 mm, dan badan setebal 14 mm. Cari modulus penampang elastisnya S_x untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 100 mmH = 400 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 230 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 500 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 80 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σ_max pada penampang.

B = 230 mmH = 500 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: k = −3,75

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik sama dengan nol

a·b = 4·k + (−5)·3 + 6·5 = 0

15 + 4·k = 0

Selesaikan untuk k

k = −15/4 = −3,75

Jawaban

k = −3,75

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: M_z = 160 N·m

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (−1, 2, 2) − (0, 0, 0) = (−1, 2, 2) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·50 − 2·(−40) = 180 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·(−60) − (−1)·50 = −70 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−40) − 2·(−60) = 160 N·m

Komponen yang diminta

M_z = 160 N·m

Jawaban

M_z = 160 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 21 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 30·5

R_B = 190/10 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 19 = 21 kN

Jawaban

R_A = 21 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 12,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·4 + 3·5·2,5

R_B = 137,5/5 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 27,5 = 12,5 kN

Jawaban

R_A = 12,5 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 36,67 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·2 → C_y = 18,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 18,33 = 36,67 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18,33/0,4472 = −40,99 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40,99)·0,8944 = 36,67 kN

Jawaban

F_AC = 36,67 kN (tarik)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 16,67 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 35·4 + 15·4 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 33,33 = 1,667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,33/0,8944 = −37,27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−37,27)·0,4472 = 16,67 kN

Jawaban

F_AC = 16,67 kN (tarik)

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 1,667 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,6/1,2 = 1,333 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 1,333 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Besar

C = √(1,333² + 1²) = 1,667 kN

Jawaban

C = 1,667 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: C = 3,536 kN

Reaksi tumpuan di B

B_y = 10·1,5/6 = 2,5 kN

Gaya tali pengikat

T = 2,5·3/3 = 2,5 kN

Gaya pin pada BC

C_x = 2,5 kN, C_y = −2,5 kN

C = √(2,5² + 2,5²) = 3,536 kN

Jawaban

C = 3,536 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −112,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −30·2,5 = −75 kN·m

w: −3·5²/2 = −37,5 kN·m

M_A = −75 − 37,5 = −112,5 kN·m

Jawaban

M_A = −112,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 42,67 kN, R₂ = 64,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −59,33, M_D = −72,67, M_E = −90 kN·m, M_F = −45, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −90 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: S_x = 994,8 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 400 − 2·20 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·400³ − 86·360³)/12

I_x = 1,99 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 1,99 × 10⁸/200

S_x = 994827 mm³ = 994,8 × 10³ mm³

Jawaban

S_x = 994,8 × 10³ mm³

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_max = 32,72 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 500 − 2·20 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·500³ − 220·460³)/12

I_x = 6,113 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 250 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·250/6,113 × 10⁸ = 32,72 MPa

Jawaban

σ_max = 32,72 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics