Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzdFAB

Gaya konstan F = (15, 20, 0) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−2, 2, 1) ke titik B(−5, −1, 3). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.

F = (15, 20, 0) NA(−2, 2, 1) mB(−5, −1, 3) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzab

Untuk a = (−4, −6, −3) dan b = (−6, −6, −1), tentukan komponen z (a × b)z dari hasil kali silang a × b.

a = (−4, −6, −3)b = (−6, −6, −1)
(a × b)z =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​ = ?5 m3 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 10 mP1 = 60 kN di 5 mP2 = 50 kN di 8 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​2 m0,5 m0,5 m2 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 5 mP = 55 kN di 2,5 mw = 2 kN/m dari 2 sampai 3 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABBCACACB50 kN5 m3 m2 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 2 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 50 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB30 kN15 kN5 m2 m3 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 2 m dari Abeban vertikal = 30 kNbeban horizontal = 15 kN ←
FBC = kN
7.Rangka & mesinSedang
20 kN2,4 m1 m1,4 mABCDE

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2,4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2,4 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1 m di atas tanah. Beban 20 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 20 kNAB = 2,4 mtinggi C = 2,4 mtinggi DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSulit
w = 1 kN/m10 kN0,6 m1,4 m1 mABCD

Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1 m di bawah A). Balok memikul beban merata 1 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 10 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya FCD pada batang penyangga.

w = 1 kN/mP = 10 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 1 m
FCD = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
12 kN/m35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 3 m12 kN/m, 2–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 8 kN/mP = 60 kNABpotongan1,5 m7,5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 60 kN di 9 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
1603018012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
2103002010xM = 60 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 210 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 60 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σmax pada penampang.

B = 210 mmH = 300 mmtf = 20 mmtw = 10 mmM = 60 kN·m
σmax = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: W = −105 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Perpindahan

d = B − A = (−5, −1, 3) − (−2, 2, 1) = (−3, −3, 2) m

Usaha

W = F·d = 15·(−3) + 20·(−3) + 0·2 = −105 J

Jawaban

W = −105 J

Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)z = −12

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)x = aybz − azby = (−6)·(−1) − (−3)·(−6) = −12
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−6) − (−4)·(−1) = 14
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·(−6) − (−6)·(−6) = −12

Komponen yang diminta

(a × b)z = −12

Jawaban

(a × b)z = −12

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 70 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 60 kNP2​ = 50 kNABRA​RB​5 m3 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·10 = 60·5 + 50·8
RB = 700/10 = 70 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 70 = 40 kN

Jawaban

RB = 70 kN
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 28,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m0,5 m0,5 m2 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2,5 + 2·1·2,5
RB = 142,5/5 = 28,5 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 28,5 = 28,5 kN

Jawaban

RA = 28,5 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −42,43 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB50 kNAy​Cy​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 50·3 → Cy = 30 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 30 = 20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −30/0,7071 = −42,43 kN

Jawaban

FBC = −42,43 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −4,243 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB30 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 − 15·3 → Cy = 3 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3 = 27 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3/0,7071 = −4,243 kN

Jawaban

FBC = −4,243 kN (tekan)
7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 13,17 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

By = 10 kN
T = 10·1,2/1,4 = 8,571 kN

Komponen gaya pin pada BC

Cx = T = 8,571 kN, Cy = −By = −10 kN

Besar

C = √(8,571² + 10²) = 13,17 kN

Jawaban

C = 13,17 kN
8.Rangka & mesin

Jawaban: FCD = 42,76 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Resultan beban merata

w·L = 1·2 = 2 kN di 1 m

Momen terhadap A untuk balok

FCD·0,8575·0,6 = 2·1 + 10·2 = 22 kN·m
FCD = 42,76 kN

Jawaban

FCD = 42,76 kN
9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 29,5 kN, R2 = 29,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 29,5, MC = 59, MD = 82,5 kN·m, ME = 59, MF = 29,5, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 82,5 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 60 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·9 + 8·10·5
RB = 940/10 = 94 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 94 = 46 kN
w = 8 kN/mP = 60 kNABRA​ = 46RB​ = 94potongan1,5 m7,5 m1 m

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 46·1,5 − 8·1,5·0,75 = 60 kN·m

Jawaban

Mx = 60 kN·m
11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 22,62 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
badan: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·195 + 2160·90)/6960 = 162,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·30³/12 + 4800·(195 − 162,4)² = 5,457 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·180³/12 + 2160·(90 − 162,4)² = 1,716 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,457 × 10⁶ + 1,716 × 10⁷ = 2,262 × 10⁷ mm⁴ = 22,62 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 22,62 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σmax = 50,12 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 300 − 2·20 = 260 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·300³ − 200·260³)/12
Ix = 1,796 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 150 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·150/1,796 × 10⁸ = 50,12 MPa

Jawaban

σmax = 50,12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics