Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (5, 6, 0) pada b = (6, −1, 6), yaitu komponen a searah b.

a = (5, 6, 0)b = (6, −1, 6)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (−4, 4, 6) dan b = (2, 6, 2), tentukan komponen x (a × b)_x dari hasil kali silang a × b.

a = (−4, 4, 6)b = (2, 6, 2)

(a × b)_x =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN di 2 mP₂ = 25 kN di 6 m

R_B = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 50 kN di 2 mw = 5 kN/m dari 2 sampai 3 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_BC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 3 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 45 kN

F_BC = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 40 kNbeban horizontal = 5 kN ←

F_AC = kN

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3,2 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 2 m di atas tanah. Beban 2 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 2 kNAB = 3,2 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 2 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah pres toggle memiliki dua batang penghubung AB dan BC yang sama panjang, masing-masing sepanjang 80 mm di antara pin. Sambungan B berada 15 mm di atas garis AC. Berapa gaya ke bawah F di B yang menghasilkan gaya penekan horizontal 1000 N pada penggeser C? Abaikan gesekan dan berat.

Q = 1000 NAB = BC = 80 mmh = 15 mm

F = N

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mP = 75 kN di 2 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_max = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 300 mm dan diameter dalam d = 288 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 300 mmd = 288 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_atas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = 2,809

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 5·6 + 6·(−1) + 0·6 = 24

Panjang b

|b| = √(6² + (−1)² + 6²) = 8,544

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = 24/8,544 = 2,809

Jawaban

comp_b a = 2,809

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_x = −28

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·2 − 6·6 = −28

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 6·2 − (−4)·2 = 20

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·6 − 4·2 = −32

Komponen yang diminta

(a × b)_x = −28

Jawaban

(a × b)_x = −28

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 22,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 25·6

R_B = 180/8 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 22,5 = 17,5 kN

Jawaban

R_B = 22,5 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 28,13 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·2 + 5·1·2,5

R_B = 112,5/4 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 28,13 = 26,88 kN

Jawaban

R_B = 28,13 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_BC = −15,91 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·1 → C_y = 11,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 11,25 = 33,75 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,25/0,7071 = −15,91 kN

Jawaban

F_BC = −15,91 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AC = 7 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 − 5·4 → C_y = 28 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 28 = 12 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −28/0,9701 = −28,86 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−28,86)·0,2425 = 7 kN

Jawaban

F_AC = 7 kN (tarik)

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 1,187 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 1 kN

T = 1·1,6/2,5 = 0,64 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 0,64 kN, C_y = −B_y = −1 kN

Besar

C = √(0,64² + 1²) = 1,187 kN

Jawaban

C = 1,187 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: F = 381,8 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Sudut batang

sin θ = 15/80 = 0,1875, θ = 10,81°

Gaya batang

F_link = Q/cos θ = 1018 N

Gaya di B

F = 2·F_link·sin θ = 2·1000·tan θ = 381,8 N

Jawaban

F = 381,8 N

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 24,38 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 20·1,5 − 5·1,5·0,75 = 24,38 kN·m

Jawaban

M_x = 24,38 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 99 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·2 + 12·4·2

R_B = 246/4 = 61,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 123 − 61,5 = 61,5 kN

Di mana V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 37,5 kN

V(2⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 61,5·2 − 12·2²/2 = 99 kN·m

Jawaban

M_max = 99 kN·m

Terjadi di x = 2 m dari A.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 104 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 5542 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,99 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(5,99 × 10⁷/5542) = 104 mm

Jawaban

r = 104 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 69,65 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

badan: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·192,5 + 3240·90)/6740 = 143,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·25³/12 + 3500·(192,5 − 143,2)² = 8,68 × 10⁶ mm⁴

badan: 18·180³/12 + 3240·(90 − 143,2)² = 1,793 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,68 × 10⁶ + 1,793 × 10⁷ = 2,661 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 205 − 143,2 = 61,77 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·61,77/2,661 × 10⁷ = 69,65 MPa

Jawaban

σ_atas = 69,65 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics