Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan sudut θ antara vektor a = (6, −1, 4) dan b = (−5, −2, 3), dalam derajat.

a = (6, −1, 4)b = (−5, −2, 3)

θ = °

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (4, −4, 5) dan b = (4, 3, 3), tentukan komponen x (a × b)_x dari hasil kali silang a × b.

a = (4, −4, 5)b = (4, 3, 3)

(a × b)_x =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 10 mP₁ = 30 kN di 4 mP₂ = 10 kN di 9 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 8 m dari A, miring 50° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 1 m dari A. Cari besar gaya reaksi total R_A di sendi A.

L = 10 mP = 20 kN di 8 m, θ = 50°Q = 15 kN di 1 m

R_A = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 20 kN ↓G: 40 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 40 kN ↓C: 35 kN ↓D: 10 kN ↓F: 30 kN ↓F: 20 kN →H: 25 kN ↓

1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC

7.Rangka & mesinSedang

Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 4,5 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1,5 m di atas tanah. Beban 8 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.

P = 8 kNAB = 3 mtinggi C = 4,5 mtinggi DE = 1,5 m

C = kN

8.Rangka & mesinSulit

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 5 m, dan B setinggi 2 m dan 1,5 m di kanan A. Batang AB memikul beban vertikal 5 kN di K, 0,6 m (secara horizontal) dari A, dan beban horizontal 8 kN ke kanan bekerja di B pada batang AB. Cari besar reaksi horizontal A_x di A.

P = 5 kNQ = 8 kNL = 5 mH = 2 mjarak horizontal A ke B = 1,5 mjarak horizontal A ke K = 0,6 m

A_x = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 40 kN di 2 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 150 × 16 mm, badan setinggi 150 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 270 × 20 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 150 × 16 mmbadan: 14 × 150 mmsayap bawah: 270 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 110,9 °

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 6·(−5) + (−1)·(−2) + 4·3 = −16

Besar vektor

|a| = √(6² + (−1)² + 4²) = 7,28

|b| = √((−5)² + (−2)² + 3²) = 6,164

Sudut

cos θ = −16/(7,28·6,164) = −0,3565

θ = arccos(−0,3565) = 110,9°

Jawaban

θ = 110,9°

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_x = −27

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−4)·3 − 5·3 = −27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − 4·3 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·3 − (−4)·4 = 28

Komponen yang diminta

(a × b)_x = −27

Jawaban

(a × b)_x = −27

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 19 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·4 + 10·9

R_B = 210/10 = 21 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 21 = 19 kN

Jawaban

R_A = 19 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 20,97 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Komponen P

P_v = 20·sin 50° = 15,32 kN

P_h = 20·cos 50° = 12,86 kN

Reaksi

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15,32·8 + 15·1 → R_B = 13,76 kN

A_y = 15,32 + 15 − 13,76 = 16,56 kN

A_x = P_h = 12,86 kN

Resultan di A

R_A = √(12,86² + 16,56²) = 20,97 kN

Jawaban

R_A = 20,97 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen DH

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul D

CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 18,75 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 37,5 kN (C), GH: 37,5 kN (C), AF: 43,75 kN (C), HE: 31,25 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 18,75 kN (T), HC: 31,25 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: DH

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Simpul G

FG dan GH terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 93,75 kN (T), BC: 93,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 97,5 kN (C), GH: 97,5 kN (C), AF: 104,3 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), FC: 5,303 kN (T), HC: 44,19 kN (T)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG

7.Rangka & mesin

Jawaban: C = 4,472 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya tali pengikat dari kaki BC

B_y = 4 kN

T = 4·1,5/3 = 2 kN

Komponen gaya pin pada BC

C_x = T = 2 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Besar

C = √(2² + 4²) = 4,472 kN

Jawaban

C = 4,472 kN

8.Rangka & mesin

Jawaban: A_x = 1,35 kN

Arah BC

BC = 4,031 m, cos = 0,8682, sin = 0,4961

Seluruh rangka: momen terhadap A

F_BC·0,4961·5 = 5·0,6 + 8·2

F_BC = 7,659 kN

Keseimbangan horizontal

A_x + 8 − 7,659·0,8682 = 0

A_x = −1,35 kN → |A_x| = 1,35 kN

Jawaban

A_x = 1,35 kN

Tanda minus berarti A_x mengarah ke kiri.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 12 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 15·4 − 6·4·2 = 12 kN·m

Jawaban

M_x = 12 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 120 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·2 + 10·8·4

R_B = 400/8 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 50 = 70 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 70·2 − 10·2·1 = 120 kN·m

Jawaban

M_x = 120 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

badan: A_w = 10·140 = 1400 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·152,5 + 1400·70)/8900 = 139,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·25³/12 + 7500·(152,5 − 139,5)² = 1,654 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·140³/12 + 1400·(70 − 139,5)² = 9,053 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,654 × 10⁶ + 9,053 × 10⁶ = 1,071 × 10⁷ mm⁴ = 10,71 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 10,71 × 10⁶ mm⁴

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 52,9 × 10⁶ mm⁴

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2400 mm², y = 178 mm

badan: A = 2100 mm², y = 95 mm

sayap bawah: A = 5400 mm², y = 10 mm

Titik berat

ȳ = (2400·178 + 2100·95 + 5400·10)/9900 = 68,76 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 150·16³/12 + 2400·109,2² = 2,869 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·150³/12 + 2100·26,24² = 5,384 × 10⁶ mm⁴

sayap bawah: 270·20³/12 + 5400·58,76² = 1,882 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,869 × 10⁷ + 5,384 × 10⁶ + 1,882 × 10⁷

I_x = 5,29 × 10⁷ mm⁴ = 52,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 52,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics