Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Gaya konstan F = (−15, 25, 15) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(0, 3, −5) ke titik B(−1, 3, 4). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
F = (−15, 25, 15) NA(0, 3, −5) mB(−1, 3, 4) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan luas A jajar genjang yang direntang oleh a = (5, −6, 3) dan b = (6, 1, 5).
a = (5, −6, 3)b = (6, 1, 5)
A =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 2,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 30 kN di 1 mP2 = 55 kN di 4 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 2 m dari A, miring 45° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 0,5 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.
L = 5 mP = 80 kN di 2 m, θ = 45°Q = 60 kN di 0,5 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 8 mtinggi = 4 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 35 kN
FAB = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FAC pada batang AC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 2,4 m. Kaki-kakinya bertemu di pin C, setinggi 2,4 m, dan tali pengikat horizontal DE berada 1 m di atas tanah. Beban 6 kN bekerja di C. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 6 kNAB = 2,4 mtinggi C = 2,4 mtinggi DE = 1 m
C = kN
8.Rangka & mesinSulit
Rangka-A yang ditunjukkan berdiri di atas pin di A dan rol di B, berjarak 3 m, dengan pin puncaknya C setinggi 3,6 m dan tali pengikat horizontal DE 2 m di atas tanah. Beban vertikal 4 kN bekerja pada kaki AC di K, 1,125 m (secara horizontal) dari A. Cari besar gaya C yang dikerjakan pin C pada kaki BC.
P = 4 kNAB = 3 mtinggi C = 3,6 mtinggi DE = 2 mjarak horizontal A ke K = 1,125 m
C = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 10 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 5 mw = 4 kN/m dari 1 sampai 3 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 120 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 30 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.
Perkalian titik:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.
Perpindahan
d = B − A = (−1, 3, 4) − (0, 3, −5) = (−1, 0, 9) m
Usaha
W = F·d = (−15)·(−1) + 25·0 + 15·9 = 150 J
Jawaban
W = 150 J
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: A = 53,09
Perkalian silang:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah MO = r × F, dengan r = A − O.
Hasil kali silang
(a × b)x = aybz − azby = (−6)·5 − 3·1 = −33
(a × b)y = azbx − axbz = 3·6 − 5·5 = −7
(a × b)z = axby − aybx = 5·1 − (−6)·6 = 41
Luas
A = |a × b| = √((−33)² + (−7)² + 41²) = 53,09
Jawaban
A = 53,09
3.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RB = 100 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 30·1 + 55·4
RB = 250/2,5 = 100 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 30 + 55 − 100 = −15 kN
Jawaban
RB = 100 kN
RA negatif: sendi di A harus menahan balok agar tidak terangkat.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 104,6 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Komponen P
Pv = 80·sin 45° = 56,57 kN
Ph = 80·cos 45° = 56,57 kN
Reaksi
ΣMA = 0: RB·5 = 56,57·2 + 60·0,5 → RB = 28,63 kN
Ay = 56,57 + 60 − 28,63 = 87,94 kN
Ax = Ph = 56,57 kN
Resultan di A
RA = √(56,57² + 87,94²) = 104,6 kN
Jawaban
RA = 104,6 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FAB = −21,01 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·8 = 35·5 → Cy = 21,88 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21,88 = 13,13 kN
Titik buhul A
Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13,13/0,6247 = −21,01 kN
Jawaban
FAB = −21,01 kN (tekan)
6.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FAC = −9 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 10·2 − 25·2 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −6 = 16 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Gaya tali pengikat dari kaki BC
By = 3 kN
T = 3·1,2/1,4 = 2,571 kN
Komponen gaya pin pada BC
Cx = T = 2,571 kN, Cy = −By = −3 kN
Besar
C = √(2,571² + 3²) = 3,951 kN
Jawaban
C = 3,951 kN
8.Rangka & mesin
Jawaban: C = 2,056 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Reaksi tumpuan di B
By = 4·1,125/3 = 1,5 kN
Gaya tali pengikat
T = 1,5·1,5/1,6 = 1,406 kN
Gaya pin pada BC
Cx = 1,406 kN, Cy = −1,5 kN
C = √(1,406² + 1,5²) = 2,056 kN
Jawaban
C = 2,056 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 64 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 40·2 − 8·2·1 = 64 kN·m
Jawaban
Mx = 64 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 7,68 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·2·2
RB = 16/5 = 3,2 kN
ΣFy = 0: RA = 8 − 3,2 = 4,8 kN
Gaya geser nol
Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (28800·120 − 706,9·168)/(28800 − 706,9) = 118,8 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
120·240³/12 + 28800·1,208² = 138,3 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·49,21² = 1,751 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 136,5 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 136,5 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Mallow = 10,44 kN·m
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.