Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzab

Tentukan sudut θ antara vektor a = (1, 5, −5) dan b = (6, −2, 6), dalam derajat.

a = (1, 5, −5)b = (6, −2, 6)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzabc

Tentukan volume V paralelepipedum yang rusuk-rusuknya dari satu titik sudut adalah a = (5, 5, 5), b = (−3, 2, −3), dan c = (−2, −3, −5).

a = (5, 5, 5)b = (−3, 2, −3)c = (−2, −3, −5)
V =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​ = ?1 m4 m3 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 8 mP1 = 50 kN di 1 mP2 = 15 kN di 5 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​ = ?RB​5 m1 m1 m1 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 8 mP = 25 kN di 6 mw = 5 kN/m dari 5 sampai 7 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH35 kN20 kN4 × 4 m4 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 35 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABBCACACB10 kN20 kN4 m3 m4 m

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 4 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 10 kNbeban horizontal = 20 kN →
FBC = kN
7.Rangka & mesinSedang
OAB100 NQ300 mm80 mmFO​ = ?

Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 100 N di A (300 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (80 mm di atas O). Cari besar reaksi pin FO.

F = 100 NOA = 300 mmOB = 80 mm
FO = N
8.Rangka & mesinSulit
10 kN0,5 kN6 m2 mABC

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 0,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 2 m di atas A. Beban 10 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.

W = 10 kNWb = 0,5 kNAB = 6 mAC = 2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
20 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 1 m45 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
5 kN/m25 kN60 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

25 kN @ 0 m60 kN @ 12 m10 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.Titik berat & momen inersiaSedang
2003026012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 200 mmtf = 30 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
110300201702212xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 110 × 20 mm, badan setinggi 170 mm dan setebal 12 mm, dan sayap bawah 300 × 22 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 110 × 20 mmbadan: 12 × 170 mmsayap bawah: 300 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 123,1 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = 1·6 + 5·(−2) + (−5)·6 = −34

Besar vektor

|a| = √(1² + 5² + (−5)²) = 7,141
|b| = √(6² + (−2)² + 6²) = 8,718

Sudut

cos θ = −34/(7,141·8,718) = −0,5461
θ = arccos(−0,5461) = 123,1°

Jawaban

θ = 123,1°
2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: V = 75

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−5) − (−3)·(−3) = −19
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−3)·(−2) − (−3)·(−5) = −9
(b × c)z = bxcy − bycx = (−3)·(−3) − 2·(−2) = 13

Hasil kali titik dengan a

a·(b × c) = 5·(−19) + 5·(−9) + 5·13 = −75
V = |−75| = 75

Jawaban

V = 75
3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 15,63 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 50 kNP2​ = 15 kNABRA​RB​1 m4 m3 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·1 + 15·5
RB = 125/8 = 15,63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 15,63 = 49,38 kN

Jawaban

RB = 15,63 kN
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 8,75 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 5 kN/mP = 25 kNABRA​RB​5 m1 m1 m1 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN, bekerja di x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·6 + 5·2·6
RB = 210/8 = 26,25 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 26,25 = 8,75 kN

Jawaban

RA = 8,75 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 36,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 36,25 kN (C), GH: 18,75 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 26,52 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 1,768 kN (C), DG: 26,52 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: FBC = −28,35 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

ABBCACACB10 kN20 kNAy​Cy​Ax​

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣMA = 0: Cy·4 = 10·3 + 20·4 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 27,5 = −17,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

Titik buhul C

Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −27,5/0,9701 = −28,35 kN

Jawaban

FBC = −28,35 kN (tekan)
7.Rangka & mesin

Jawaban: FO = 388,1 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Gaya di B

Q = 100·300/80 = 375 N

Reaksi pin

Ox = 375 N, Oy = 100 N
FO = √(375² + 100²) = 388,1 N

Jawaban

FO = 388,1 N
8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 32,41 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Sudut kabel

BC = √(6² + 2²) = 6,325 m, sin β = 0,3162

Momen terhadap A

T·0,3162·6 = 10·6 + 0,5·3
T = 32,41 kN

Jawaban

T = 32,41 kN
9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 3 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 39,17 kN, R2 = 25,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 39,17, MC = 58,33, MD = 77,5 kN·m, ME = 51,67, MF = 25,83, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 77,5 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 41,25 kN, R2 = 93,75 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −50, MC = −27,5, MD = −25, ME = −62,5, MF = −120 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −120 kN·m
11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 61,18 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 200·30 = 6000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
badan: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·275 + 3120·130)/9120 = 225,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·30³/12 + 6000·(275 − 225,4)² = 1,521 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·260³/12 + 3120·(130 − 225,4)² = 4,597 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,521 × 10⁷ + 4,597 × 10⁷ = 6,118 × 10⁷ mm⁴ = 61,18 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 61,18 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 69,3 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 2200 mm², y = 202 mm
badan: A = 2040 mm², y = 107 mm
sayap bawah: A = 6600 mm², y = 11 mm

Titik berat

ȳ = (2200·202 + 2040·107 + 6600·11)/10840 = 67,83 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 110·20³/12 + 2200·134,2² = 3,968 × 10⁷ mm⁴
badan: 12·170³/12 + 2040·39,17² = 8,043 × 10⁶ mm⁴
sayap bawah: 300·22³/12 + 6600·56,83² = 2,158 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,968 × 10⁷ + 8,043 × 10⁶ + 2,158 × 10⁷
Ix = 6,93 × 10⁷ mm⁴ = 69,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 69,3 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics