Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|

Metode

  1. Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
  2. Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
  3. Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d

Metode

  1. Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
  2. Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
  3. Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
  4. Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
  2. Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
  3. Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
  4. Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban

Metode

  1. Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
  2. Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
  3. Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
  4. Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
xyzab

Tentukan sudut θ antara vektor a = (−5, −4, 4) dan b = (3, −5, −6), dalam derajat.

a = (−5, −4, 4)b = (3, −5, −6)
θ = °
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
xyzab

Vektor satuan n̂ tegak lurus terhadap a = (5, 1, 0) dan b = (1, −3, 3) serta memiliki komponen z positif. Tentukan komponen y n̂y.

a = (5, 1, 0)b = (1, −3, 3)n̂z > 0
n̂y =
3.Reaksi tumpuan balokSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1 m1,5 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RB.

L = 4 mP1 = 50 kN di 1,5 mP2 = 35 kN di 2,5 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m4 m

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.

L = 5 mP = 55 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
ABCDEFGH30 kN40 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

B: 30 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
ABCDEFGH35 kN10 kN25 kN15 kN4 × 4 m3 m

Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.

D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓F: 25 kN →G: 15 kN ↓
  1. 1elemen AB
  2. 2elemen BC
  3. 3elemen CD
  4. 4elemen DE
  5. 5elemen FG
  6. 6elemen GH
  7. 7elemen AF
  8. 8elemen HE
  9. 9elemen BF
  10. 10elemen CG
  11. 11elemen DH
  12. 12elemen BG
  13. 13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
4 kN5 m2,5 m3 mABCK

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 5 m, dan B berada 2,5 m di atas tanah dan 3 m di kanan A. Beban vertikal 4 kN bekerja pada batang AB di K, 1,5 m (secara horizontal) dari A. Cari gaya FBC pada batang BC.

P = 4 kNL = 5 mH = 2,5 mjarak horizontal A ke B = 3 mjarak horizontal A ke K = 1,5 m
FBC = kN
8.Rangka & mesinSulit
5 kN3 kN5 m4 mABC

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 3 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 4 m di atas A. Beban 5 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.

W = 5 kNWb = 3 kNAB = 5 mAC = 4 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 35 kNP2​ = 50 kNAB3 m1 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mP1 = 35 kN di 3 mP2 = 50 kN di 4 m
Mmax = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mP = 40 kNAB3 m7 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 10 mP = 40 kN di 3 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
2602022020xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
3002010018xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 100 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: θ = 107,5 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−5)·3 + (−4)·(−5) + 4·(−6) = −19

Besar vektor

|a| = √((−5)² + (−4)² + 4²) = 7,55
|b| = √(3² + (−5)² + (−6)²) = 8,367

Sudut

cos θ = −19/(7,55·8,367) = −0,3008
θ = arccos(−0,3008) = 107,5°

Jawaban

θ = 107,5°
2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: n̂y = 0,6776

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang

(a × b)x = aybz − azby = 1·3 − 0·(−3) = 3
(a × b)y = azbx − axbz = 0·1 − 5·3 = −15
(a × b)z = axby − aybx = 5·(−3) − 1·1 = −16

Normalkan

Komponen z dari a × b negatif, jadi gunakan −(a × b).

|a × b| = √(3² + (−15)² + (−16)²) = 22,14
n̂ = −(3, −15, −16)/22,14 = (−0,1355, 0,6776, 0,7228)
n̂y = 0,6776

Jawaban

n̂y = 0,6776
3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RB = 40,63 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

P1​ = 50 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​1,5 m1 m1,5 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣMA = 0: RB·4 = 50·1,5 + 35·2,5
RB = 162,5/4 = 40,63 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 40,63 = 44,38 kN

Jawaban

RB = 40,63 kN
4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: RA = 49 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m4 m

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·1 + 2·5·2,5
RB = 80/5 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 16 = 49 kN

Jawaban

RA = 49 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 56,67 kN (T), BC: 73,33 kN (T), CD: 73,33 kN (T), DE: 36,67 kN (T), FG: 56,67 kN (C), GH: 36,67 kN (C), AF: 70,83 kN (C), HE: 45,83 kN (C), BF: 42,5 kN (T), CG: 0, DH: 27,5 kN (T), BG: 20,83 kN (C), DG: 45,83 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: elemen CG

Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.

Simpul C

BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

Periksa dengan metode simpul

Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).

AB: 50,42 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 54,58 kN (T), FG: 50,42 kN (C), GH: 54,58 kN (C), AF: 31,77 kN (C), HE: 68,23 kN (C), BF: 9,063 kN (T), CG: 0, DH: 40,94 kN (T), BG: 15,1 kN (C), DG: 9,896 kN (C)

Jawaban

Elemen gaya-nol: CG
7.Rangka & mesin

Jawaban: FBC = 1,537 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Batang dua gaya BC

BC = √(2² + 2,5²) = 3,202 m

Seluruh rangka: momen terhadap A

Tanah mendorong BC di C sepanjang CB; komponen horizontalnya melalui A, hanya yang vertikal yang memiliki momen.

FBC·(2,5/3,202)·5 = 4·1,5
FBC = 1,537 kN (tekan)

Jawaban

FBC = 1,537 kN
8.Rangka & mesin

Jawaban: T = 10,41 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Sudut kabel

BC = √(5² + 4²) = 6,403 m, sin β = 0,6247

Momen terhadap A

T·0,6247·5 = 5·5 + 3·2,5
T = 10,41 kN

Jawaban

T = 10,41 kN
9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 102,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·6 = 35·3 + 50·4
RB = 305/6 = 50,83 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 50,83 = 34,17 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·3 = 34,17·3 = 102,5 kN·m
di bawah P2: M = RB·2 = 50,83·2 = 101,7 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 102,5 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 102,5 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 126 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·3 + 4·10·5
RB = 320/10 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 32 = 48 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = RA − w·3 = 36 kN
V(3⁺) = 36 − 40 = −4 kN
Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 48·3 − 4·3²/2 = 126 kN·m

Jawaban

Mmax = 126 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 52,24 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 260·20 = 5200 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
badan: Aw = 20·220 = 4400 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5200·230 + 4400·110)/9600 = 175 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·20³/12 + 5200·(230 − 175)² = 1,59 × 10⁷ mm⁴
badan: 20·220³/12 + 4400·(110 − 175)² = 3,634 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,59 × 10⁷ + 3,634 × 10⁷ = 5,224 × 10⁷ mm⁴ = 52,24 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 52,24 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 107 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
badan: Aw = 18·100 = 1800 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·110 + 1800·50)/7800 = 96,15 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 300·20³/12 + 6000·(110 − 96,15)² = 1,35 × 10⁶ mm⁴
badan: 18·100³/12 + 1800·(50 − 96,15)² = 5,334 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,35 × 10⁶ + 5,334 × 10⁶ = 6,685 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 120 − 96,15 = 23,85 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·23,85/6,685 × 10⁶ = 107 MPa

Jawaban

σatas = 107 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics