Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan proyeksi skalar comp_b a dari a = (−6, 6, −5) pada b = (−6, −3, 6), yaitu komponen a searah b.

a = (−6, 6, −5)b = (−6, −3, 6)

comp_b a =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Untuk a = (4, 5, −4) dan b = (2, −4, 1), tentukan komponen y (a × b)_y dari hasil kali silang a × b.

a = (4, 5, −4)b = (2, −4, 1)

(a × b)_y =

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 7 m dari A dan kopel searah jarum jam M pada 1 m dari A. Cari reaksi vertikal R_A, dengan arah ke atas positif.

L = 10 mP = 45 kN di 7 mM = 30 kN·m (searah jarum jam) di 1 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_B.

L = 4 mP = 40 kN di 2 mw = 4 kN/m dari 1 sampai 2 m

R_B = kN

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 1 m dari Abeban vertikal = 20 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 6 mtinggi = 2 mB berjarak 5 m dari Abeban vertikal = 15 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1,2 m di bawah A. Beban 12 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.

P = 12 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Rangka & mesinSulit

Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 1 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari B ke titik C pada dinding, 1 m di atas A. Beban 10 kN tergantung di B. Cari besar reaksi pin A.

W = 10 kNW_b = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

A = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mP₁ = 40 kN di 2,5 mP₂ = 55 kN di 3 m

M_max = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 40 kN di 2,5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 180 mm dan diameter dalam d = 168 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 180 mmd = 168 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: comp_b a = −1,333

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil kali titik

a·b = (−6)·(−6) + 6·(−3) + (−5)·6 = −12

Panjang b

|b| = √((−6)² + (−3)² + 6²) = 9

Proyeksi skalar

comp_b a = a·b/|b| = −12/9 = −1,333

Jawaban

comp_b a = −1,333

Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: (a × b)_y = −12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil kali silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·1 − (−4)·(−4) = −11

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·2 − 4·1 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−4) − 5·2 = −26

Komponen yang diminta

(a × b)_y = −12

Jawaban

(a × b)_y = −12

Periksa: a × b tegak lurus terhadap kedua vektor, jadi hasil kali titiknya dengan a dan dengan b adalah nol.

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 10,5 kN

Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Momen terhadap A

Berlawanan arah jarum jam positif.

ΣM_A = 0: R_B·10 − 45·7 − 30 = 0

R_B = 345/10 = 34,5 kN

Kesetimbangan vertikal

R_A = 45 − 34,5 = 10,5 kN

Jawaban

R_A = 10,5 kN

Reaksi negatif bekerja ke bawah.

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_B = 21,5 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 4·1·1,5

R_B = 86/4 = 21,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 44 − 21,5 = 22,5 kN

Jawaban

R_B = 21,5 kN

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −18,63 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·1 → C_y = 3,333 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 3,333 = 16,67 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/2,236 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −16,67/0,8944 = −18,63 kN

Jawaban

F_AB = −18,63 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −20,19 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·5 − 15·2 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 7,5 = 7,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Jawaban

F_AB = −20,19 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: A = 18,31 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Gaya batang penyangga

F_CD = 12·1,5/(0,8321·0,8) = 27,04 kN

Komponen di A

A_x = F_CD·cos α = 15 kN (menuju dinding)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −10,5 kN

Besar

A = √(15² + −10,5²) = 18,31 kN

Jawaban

A = 18,31 kN

A_y negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.

8.Rangka & mesin

Jawaban: A = 21,01 kN

Tarikan kabel

T = (10 + 1/2)/0,4472 = 23,48 kN

Komponen di A

A_x = T·cos β = 21 kN

A_y = 10 + 1 − T·sin β = 0,5 kN

Besar

A = √(21² + 0,5²) = 21,01 kN

Jawaban

A = 21,01 kN

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 71,88 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 55·3

R_B = 265/4 = 66,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 66,25 = 28,75 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P₁: M = R_A·2,5 = 28,75·2,5 = 71,88 kN·m

di bawah P₂: M = R_B·1 = 66,25·1 = 66,25 kN·m

Nilai terbesar

M_max = 71,88 kN·m (di bawah P₁)

Jawaban

M_max = 71,88 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 84,58 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2,5 + 6·6·3

R_B = 208/6 = 34,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 76 − 34,67 = 41,33 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 41,33·2,5 − 6·2,5·1,25 = 84,58 kN·m

Jawaban

M_x = 84,58 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 61,55 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 3280 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,243 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,243 × 10⁷/3280) = 61,55 mm

Jawaban

r = 61,55 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 2400·90)/(60000 − 2400) = 152,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−2,5² = 450,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·40³/12 + 2400·−62,5² = 9,695 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 440,7 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics