Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Tentukan proyeksi skalar compb a dari a = (6, 3, −2) pada b = (−6, 4, −4), yaitu komponen a searah b.
a = (6, 3, −2)b = (−6, 4, −4)
compb a =
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Sebuah gaya F = (−30, −60, 0) N bekerja di titik A(−1, −4, 2). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen y My dari momen gaya terhadap titik O(0, −3, 3).
F = (−30, −60, 0) NA(−1, −4, 2) mO(0, −3, 3) m
My = N·m
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 5 mP1 = 30 kN di 1,5 mP2 = 55 kN di 4 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal RA.
L = 8 mP = 15 kN di 1 mw = 8 kN/m dari 6 sampai 8 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 3 m dari Abeban vertikal = 40 kN
FBC = kN
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 35 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓H: 15 kN ←
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen FC
13elemen HC
7.Rangka & mesinSedang
Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1 m di bawah A. Beban 15 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.
P = 15 kNAD = 1,2 mAB = 2,5 mAC = 1 m
A = kN
8.Rangka & mesinSulit
Balok AB pada braket dinding yang ditunjukkan dipasang dengan pin di A dan ditopang oleh batang penyangga CD (C berada 1 m di bawah A). Balok memikul beban merata 3 kN/m sepanjang seluruh panjangnya dan beban titik 6 kN pada ujung bebasnya B. Cari gaya FCD pada batang penyangga.
w = 3 kN/mP = 6 kNAD = 1,6 mAB = 4 mAC = 1 m
FCD = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 6 mP1 = 35 kN di 2,5 mP2 = 20 kN di 4,5 m
Mmax = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.
L = 6 mP = 25 kN di 5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 m
Mmax = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Sebuah pelat 120 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 168 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 120 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Hasil kali titik
a·b = 6·(−6) + 3·4 + (−2)·(−4) = −16
Panjang b
|b| = √((−6)² + 4² + (−4)²) = 8,246
Proyeksi skalar
compb a = a·b/|b| = −16/8,246 = −1,94
Jawaban
compb a = −1,94
Negatif: a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan b.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: My = 30 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektor posisi dari O ke A
r = A − O = (−1, −4, 2) − (0, −3, 3) = (−1, −1, −1) m
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·1,5 + 55·4
RB = 265/5 = 53 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 53 = 32 kN
Jawaban
RA = 32 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 15,13 kN
Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Diagram benda bebas
Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, bekerja di x̄ = 7 m
ΣMA = 0: RB·8 = 15·1 + 8·2·7
RB = 127/8 = 15,88 kN
ΣFy = 0: RA = 31 − 15,88 = 15,13 kN
Jawaban
RA = 15,13 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: FBC = −26,83 kN
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 40·3 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 24 = 16 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Gaya batang penyangga
FCD = 15·2,5/(0,6402·1,2) = 48,81 kN
Komponen di A
Ax = FCD·cos α = 37,5 kN (menuju dinding)
Ay = 15 − FCD·sin α = −16,25 kN
Besar
A = √(37,5² + −16,25²) = 40,87 kN
Jawaban
A = 40,87 kN
Ay negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.
8.Rangka & mesin
Jawaban: FCD = 56,6 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Resultan beban merata
w·L = 3·4 = 12 kN di 2 m
Momen terhadap A untuk balok
FCD·0,53·1,6 = 12·2 + 6·4 = 48 kN·m
FCD = 56,6 kN
Jawaban
FCD = 56,6 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 63,54 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
ΣMA = 0: RB·6 = 35·2,5 + 20·4,5
RB = 177,5/6 = 29,58 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 29,58 = 25,42 kN
Momen di bawah tiap beban
Ambil bagian di kiri tiap beban.
di bawah P1: M = RA·2,5 = 25,42·2,5 = 63,54 kN·m
di bawah P2: M = RB·1,5 = 29,58·1,5 = 44,38 kN·m
Nilai terbesar
Mmax = 63,54 kN·m (di bawah P1)
Jawaban
Mmax = 63,54 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mmax = 49,59 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (28800·120 − 1257·168)/(28800 − 1257) = 117,8 mm
Pelat penuh terhadap ȳ
120·240³/12 + 28800·2,19² = 138,4 × 10⁶ mm⁴
Lubang terhadap ȳ
π·40⁴/64 + 1257·50,19² = 3,291 × 10⁶ mm⁴
Kurangkan
Ix = 135,1 × 10⁶ mm⁴
Jawaban
Ix = 135,1 × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersia
Jawaban: σatas = 189 MPa
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 160 + 15/2 = 167,5 mm