Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Gaya konstan F = (−5, 10, −15) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(−5, −5, −4) ke titik B(3, 1, 5). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
F = (−5, 10, −15) NA(−5, −5, −4) mB(3, 1, 5) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Sebuah gaya F = (20, −30, −10) N bekerja di titik A(2, 2, 3). Koordinat dalam meter. Tentukan komponen x Mx dari momen gaya terhadap titik asal O(0, 0, 0).
F = (20, −30, −10) NA(2, 2, 3) mO(0, 0, 0) m
Mx = N·m
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban merata w dari dinding sampai 5 m dan beban terpusat P pada 4 m dari dinding. Cari reaksi vertikal RA di dinding.
L = 8 mP = 25 kN di 4 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 m
RA = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B, 4,5 m dari A, dan menjorok (overstek) melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P pada 3,5 m dari A dan beban merata w dari 2,5 m sampai ujung bebas di 6 m. Cari reaksi vertikal RA, dengan arah ke atas positif.
AB = 4,5 mAC = 6 mP = 40 kN di 3,5 mw = 4 kN/m dari 2,5 sampai 6 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ←
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
7.Rangka & mesinSedang
Sebuah balok horizontal AB dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditopang oleh batang penyangga CD, yang dipasang dengan pin pada dinding di C, 1,2 m di bawah A. Beban 8 kN tergantung di B. Abaikan berat. Cari besar gaya pin A pada balok di A.
P = 8 kNAD = 1,2 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Rangka & mesinSulit
Sebuah boom horizontal seragam AB dengan berat 0,5 kN dipasang dengan pin pada dinding di A dan ditahan oleh kabel dari ujungnya B ke titik C pada dinding, 2 m di atas A. Beban 10 kN tergantung di B. Cari tarikan T pada kabel.
W = 10 kNWb = 0,5 kNAB = 4 mAC = 2 m
T = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.
40 kN @ 2 m12 kN/m, 4–12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 10 mP = 55 kN di 2 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
bf = 140 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 70 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 120 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: W = −115 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Perpindahan
d = B − A = (3, 1, 5) − (−5, −5, −4) = (8, 6, 9) m
Usaha
W = F·d = (−5)·8 + 10·6 + (−15)·9 = −115 J
Jawaban
W = −115 J
Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: Mx = 70 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal RA dan momen reaksi MA. ΣFy = 0 memberi RA, dan momen terhadap dinding memberi MA = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.
Resultan beban merata
W = 5·5 = 25 kN, x̄ = 2,5 m
Kesetimbangan vertikal
RA = P + W = 25 + 25 = 50 kN
Jawaban
RA = 50 kN
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 9,667 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Resultan beban merata
W = 4·3,5 = 14 kN, x̄ = (2,5 + 6)/2 = 4,25 m
Kesetimbangan
Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.
ΣMA = 0: RB·4,5 = 40·3,5 + 14·4,25
RB = 199,5/4,5 = 44,33 kN
RA = 54 − 44,33 = 9,667 kN
Jawaban
RA = 9,667 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen DH
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul D
CD dan DE terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Gaya batang penyangga
FCD = 8·1,5/(0,7071·1,2) = 14,14 kN
Komponen di A
Ax = FCD·cos α = 10 kN (menuju dinding)
Ay = 8 − FCD·sin α = −2 kN
Besar
A = √(10² + −2²) = 10,2 kN
Jawaban
A = 10,2 kN
Ay negatif berarti dinding menarik balok ke bawah di A.
8.Rangka & mesin
Jawaban: T = 22,92 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Sudut kabel
BC = √(4² + 2²) = 4,472 m, sin β = 0,4472
Momen terhadap A
T·0,4472·4 = 10·4 + 0,5·2
T = 22,92 kN
Jawaban
T = 22,92 kN
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: D (x = 6 m)
Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).
Reaksi tumpuan
Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.
R1 = 65,33 kN, R2 = 70,67 kN
Momen lentur pada setiap tanda
Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.
MA = 0, MB = 130,7, MC = 181,3, MD = 208 kN·m, ME = 186,7, MF = 117,3, MG = 0
Jawaban
Tanda D: MD = 208 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 104 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 55·2 + 2·10·5
RB = 210/10 = 21 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 21 = 54 kN
Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 54·2 − 2·2·1 = 104 kN·m
Jawaban
Mx = 104 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 11,94 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi dua persegi panjang
Ukur setiap y dari tepi bawah.
sayap: Af = 140·25 = 3500 mm², yf = 140 + 25/2 = 152,5 mm
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.