Statika: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Vektor: hasil kali titik & silang

Besar: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor satuan: û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil kali titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b: a·b/|b|
Usaha: W = F·d
Hasil kali silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O: M_O = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum: V = |a·(b × c)|

Metode

Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.

Reaksi tumpuan balok

Kesetimbangan: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Beban merata: resultan w·L di tengah beban
Momen: M = F·d

Metode

Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣF_y = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.

Rangka batang: metode titik buhul

Metode titik simpul: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Metode potongan: ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang: positif = tarik, negatif = tekan

Metode

Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.

Rangka & mesin

Kesetimbangan setiap batang: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya: gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin: sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin: F = √(F_x² + F_y²)
Tuas, tang, engkol siku: F_in·a = F_out·b
Toggle: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata: resultan w·L di tengah beban

Metode

Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Soal latihan

1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang

Tentukan hasil kali titik a·b dari a = (3, −5, −6) dan b = (−1, 7, 0).

a = (3, −5, −6)b = (−1, 7, 0)

a·b =

2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit

Sebuah gaya F = (0, 50, −30) N bekerja di titik A(2, 4, 0). Koordinat dalam meter. Tentukan besar |M| momen gaya terhadap titik O(2, −1, −2).

F = (0, 50, −30) NA(2, 4, 0) mO(2, −1, −2) m

|M| = N·m

3.Reaksi tumpuan balokSedang

Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Cari reaksi tumpuan vertikal R_A.

L = 8 mP₁ = 20 kN di 5 mP₂ = 55 kN di 7 m

R_A = kN

4.Reaksi tumpuan balokSulit

Balok kantilever dijepit ke dinding di A. Balok menahan beban yang berubah linear, nol di dinding dan naik sampai 4 kN/m di ujung bebas B, ditambah beban terpusat P pada 6 m dari dinding. Cari besar momen reaksi M_A di dinding.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 50 kN di 6 m

M_A = kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhulSedang

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 4 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 30 kN

F_AB = kN

6.Rangka batang: metode titik buhulSulit

Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya F_AB pada batang AB. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.

bentang = 5 mtinggi = 3 mB berjarak 4 m dari Abeban vertikal = 55 kNbeban horizontal = 15 kN ←

F_AB = kN

7.Rangka & mesinSedang

Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 250 N di A (240 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (80 mm di atas O). Cari besar reaksi pin F_O.

F = 250 NOA = 240 mmOB = 80 mm

F_O = N

8.Rangka & mesinSulit

Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 5 m, dan B setinggi 2,5 m dan 2,25 m di kanan A. Batang AB memikul beban vertikal 20 kN di K, 0,5625 m (secara horizontal) dari A, dan beban horizontal 3 kN ke kanan bekerja di B pada batang AB. Cari besar reaksi horizontal A_x di A.

P = 20 kNQ = 3 kNL = 5 mH = 2,5 mjarak horizontal A ke B = 2,25 mjarak horizontal A ke K = 0,5625 m

A_x = kN

9.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 6 mw = 4 kN/m dari 3 sampai 6 m

M_max = kN·m

11.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 160 mm dan diameter dalam d = 128 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 160 mmd = 128 mm

r = mm

12.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 180 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 320 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 120 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 180 mmH = 320 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

3Larutan

1.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: a·b = −38

Perkalian titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, sebuah skalar. Perkalian ini memberi sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan bernilai nol jika keduanya tegak lurus. Proyeksi skalar a pada b adalah a·b/|b|, dan gaya konstan F yang bergerak sejauh perpindahan d melakukan usaha W = F·d.

Kalikan komponen yang bersesuaian lalu jumlahkan

a·b = 3·(−1) + (−5)·7 + (−6)·0 = (−3) + (−35) + 0 = −38

Jawaban

a·b = −38

Negatif: sudut di antara kedua vektor lebih dari 90°.

2.Vektor: hasil kali titik & silang

Jawaban: |M| = 250 N·m

Perkalian silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) tegak lurus terhadap kedua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ adalah luas jajar genjang yang direntang keduanya (segitiganya setengah dari itu). Urutan berpengaruh: b × a = −(a × b). Momen gaya F yang bekerja di titik A terhadap titik O adalah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Vektor posisi dari O ke A

r = A − O = (2, 4, 0) − (2, −1, −2) = (0, 5, 2) m

Momen M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 5·(−30) − 2·50 = −250 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·0 − 0·(−30) = 0 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·50 − 5·0 = 0 N·m

Besar

|M| = √((−250)² + 0² + 0²) = 250 N·m

Jawaban

|M| = 250 N·m

3.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: R_A = 14,38 kN

Kesetimbangan statis: benda diam memenuhi ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Mengambil momen terhadap satu tumpuan menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.

Diagram benda bebas

Ganti tumpuan dengan gaya reaksi. Rol memberi satu reaksi vertikal; dengan beban vertikal saja, sendi juga memberi satu reaksi vertikal.

Kesetimbangan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam. Lalu kesetimbangan gaya vertikal.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·5 + 55·7

R_B = 485/8 = 60,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 60,63 = 14,38 kN

Jawaban

R_A = 14,38 kN

4.Reaksi tumpuan balok

Jawaban: M_A = 348 kN·m

Kesetimbangan kantilever: tumpuan jepit dapat mendorong ke atas sekaligus menahan rotasi, jadi memberi reaksi vertikal R_A dan momen reaksi M_A. ΣF_y = 0 memberi R_A, dan momen terhadap dinding memberi M_A = Σ(beban × jarak dari dinding). Beban merata bekerja sebagai resultannya di titik berat diagram beban.

Resultan beban segitiga

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Momen terhadap dinding

M_A = W·x̄ + P·a = 12·4 + 50·6 = 348 kN·m

Jawaban

M_A = 348 kN·m

5.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −8,485 kN

Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣF_x = 0 dan ΣF_y = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·4 → C_y = 24 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 24 = 6 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,7071 = −8,485 kN

Jawaban

F_AB = −8,485 kN (tekan)

6.Rangka batang: metode titik buhul

Jawaban: F_AB = −33,33 kN

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·4 − 15·3 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 35 = 20 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Titik buhul A

Anggap setiap batang mengalami tarik (menarik menjauhi titik buhul). Hanya AB yang punya komponen vertikal di A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0,6 = −33,33 kN

Jawaban

F_AB = −33,33 kN (tekan)

7.Rangka & mesin

Jawaban: F_O = 790,6 N

Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan F_in·a = F_out·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).

Gaya di B

Q = 250·240/80 = 750 N

Reaksi pin

O_x = 750 N, O_y = 250 N

F_O = √(750² + 250²) = 790,6 N

Jawaban

F_O = 790,6 N

8.Rangka & mesin

Jawaban: A_x = 1,125 kN

Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.

Arah BC

BC = 3,717 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727

Seluruh rangka: momen terhadap A

F_BC·0,6727·5 = 20·0,5625 + 3·2,5

F_BC = 5,575 kN

Keseimbangan horizontal

A_x + 3 − 5,575·0,7399 = 0

A_x = 1,125 kN → |A_x| = 1,125 kN

Jawaban

A_x = 1,125 kN

A_x mengarah ke kanan.

9.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 24 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 30·4 − 12·4·2 = 24 kN·m

Jawaban

M_x = 24 kN·m

10.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 10,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·3·4,5

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 9 = 3 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 3/4 = 3,75 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 3·3,75 − 4·0,75²/2 = 10,13 kN·m

Jawaban

M_max = 10,13 kN·m

11.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 51,22 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 7238 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,899 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,899 × 10⁷/7238) = 51,22 mm

Jawaban

r = 51,22 mm

12.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 119,1 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 320 − 2·16 = 288 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·320³ − 174·288³)/12

I_x = 1,451 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 160 − 16 = 144 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·144/1,451 × 10⁸ = 119,1 MPa

Jawaban

σ_j = 119,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics