Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.
1Rumus dan metode
Vektor: hasil kali titik & silang
Besar
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vektor satuan
û = a/|a|
Komponen dari sebuah sudut
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Hasil kali titik
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Proyeksi skalar a pada b
a·b/|b|
Usaha
W = F·d
Hasil kali silang
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Luas
jajar genjang |a × b|, segitiga ½|a × b|
Momen terhadap O
MO = r × F, r = A − O
Volume paralelepipedum
V = |a·(b × c)|
Metode
Tulis setiap vektor dalam komponen; untuk gaya yang diberikan dengan besar dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan besar √(x² + y² + z²) dan vektor satuan a/|a|.
Gunakan hasil kali titik untuk sudut, proyeksi, ketegaklurusan, dan usaha: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil kali silang untuk vektor tegak lurus, luas, dan momen: tulis ketiga komponen dengan teliti, jaga urutan a × b.
Reaksi tumpuan balok
Kesetimbangan
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Momen
M = F·d
Metode
Gambar diagram benda bebas dan ganti setiap tumpuan dengan reaksinya.
Ganti setiap beban terbagi dengan satu gaya di titik beratnya.
Ambil momen terhadap satu tumpuan untuk mencari reaksi di tumpuan lainnya.
Gunakan ΣFy = 0 untuk mencari reaksi yang tersisa, dan periksa dengan persamaan momen kedua.
Rangka batang: metode titik buhul
Metode titik simpul
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Metode potongan
ΣM = 0 about a cut point
Gaya batang
positif = tarik, negatif = tekan
Metode
Cari reaksi tumpuan untuk seluruh rangka batang.
Metode titik simpul: mulai dari simpul dengan paling banyak dua gaya batang yang tidak diketahui dan gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0.
Metode potongan: potong melalui batang yang Anda perlukan dan ambil momen terhadap titik pertemuan batang-batang lain yang tidak diketahui.
Asumsikan tarik; jawaban negatif berarti tekan.
Rangka & mesin
Kesetimbangan setiap batang
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Batang dua gaya
gaya sepanjang garis melalui kedua pin-nya
Gaya pin
sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya
Besar gaya pin
F = √(Fx² + Fy²)
Tuas, tang, engkol siku
Fin·a = Fout·b
Toggle
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Beban merata
resultan w·L di tengah beban
Metode
Gambar seluruh struktur dan cari reaksi tumpuan jika tidak ada lebih dari tiga besaran yang tidak diketahui.
Kenali batang dua gaya: hanya dibebani pada dua pin, gayanya bekerja sepanjang garis antara kedua pin.
Bongkar rangkanya dan gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah di tempat batang-batang bertemu.
Untuk setiap batang, ambil momen terhadap sebuah pin yang memiliki gaya tak diketahui, lalu gunakan ΣFx = 0 dan ΣFy = 0; gabungkan komponen menjadi besar gaya di akhir.
Gaya geser & momen lentur
Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8
Metode
Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.
Titik berat & momen inersia
Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Soal latihan
1.Vektor: hasil kali titik & silangSedang
Gaya konstan F = (0, 10, 10) N bekerja pada sebuah benda yang bergerak lurus dari titik A(5, −1, 2) ke titik B(−5, −2, 0). Koordinat dalam meter. Tentukan usaha W yang dilakukan gaya itu.
F = (0, 10, 10) NA(5, −1, 2) mB(−5, −2, 0) m
W = J
2.Vektor: hasil kali titik & silangSulit
Tentukan luas A segitiga dengan titik sudut A(3, −1, −4), B(−2, 3, −1), dan C(−3, 0, −2). Koordinat dalam meter.
A(3, −1, −4)B(−2, 3, −1)C(−3, 0, −2)
A = m²
3.Reaksi tumpuan balokSedang
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Balok menahan beban terpusat P pada 2 m dari A dan kopel berlawanan arah jarum jam M pada 3 m dari A. Cari reaksi vertikal RB, dengan arah ke atas positif.
L = 8 mP = 10 kN di 2 mM = 50 kN·m (berlawanan arah jarum jam) di 3 m
RB = kN
4.Reaksi tumpuan balokSulit
Balok sederhana memiliki tumpuan sendi di A dan rol di B. Beban P bekerja pada 0,5 m dari A, miring 40° terhadap horizontal, dan beban vertikal Q bekerja pada 3 m dari A. Cari besar gaya reaksi total RA di sendi A.
L = 4 mP = 20 kN di 0,5 m, θ = 40°Q = 15 kN di 3 m
RA = kN
5.Rangka batang: metode titik buhulSedang
Tepat satu elemen rangka batang ini tidak membawa gaya pada beban-beban ini. Elemen mana yang merupakan elemen gaya-nol? Klik pada diagram.
D: 10 kN ↓
1elemen AB
2elemen BC
3elemen CD
4elemen DE
5elemen FG
6elemen GH
7elemen AF
8elemen HE
9elemen BF
10elemen CG
11elemen DH
12elemen BG
13elemen DG
6.Rangka batang: metode titik buhulSulit
Gunakan metode titik buhul untuk mencari gaya FBC pada batang BC. Nyatakan tarik positif dan tekan negatif.
Engkol siku yang ditunjukkan berputar terhadap pin O. Gaya vertikal 100 N di A (300 mm dari O) diseimbangkan oleh gaya horizontal di B (150 mm di atas O). Cari besar reaksi pin FO.
F = 100 NOA = 300 mmOB = 150 mm
FO = N
8.Rangka & mesinSulit
Rangka yang ditunjukkan memiliki pin di A, B, dan C; A dan C dipasang pada tanah berjarak 8 m, dan B setinggi 2,5 m dan 2,4 m di kanan A. Batang AB memikul beban vertikal 12 kN di K, 1,2 m (secara horizontal) dari A, dan beban horizontal 6 kN ke kanan bekerja di B pada batang AB. Cari besar reaksi horizontal Ax di A.
P = 12 kNQ = 6 kNL = 8 mH = 2,5 mjarak horizontal A ke B = 2,4 mjarak horizontal A ke K = 1,2 m
Ax = kN
9.Gaya geser & momen lenturSedang
Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 6 mP1 = 55 kN di 2,5 mP2 = 80 kN di 6 mtumpuan di x = 0 dan x = 5 m
Mx = kN·m
10.Gaya geser & momen lenturSulit
Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.
L = 5 mP = 10 kN di 2,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Titik berat & momen inersiaSedang
Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 170 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.
b = 240 mmh = 170 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Titik berat & momen inersiaSulit
Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.
b = 100 mmh = 300 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Larutan
1.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: W = −30 J
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Perpindahan
d = B − A = (−5, −2, 0) − (5, −1, 2) = (−10, −1, −2) m
Usaha
W = F·d = 0·(−10) + 10·(−1) + 10·(−2) = −30 J
Jawaban
W = −30 J
Usaha negatif: gaya sebagian besar bekerja melawan gerakan.
2.Vektor: hasil kali titik & silang
Jawaban: A = 10,61 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Momen terhadap A
Berlawanan arah jarum jam positif.
ΣMA = 0: RB·8 − 10·2 + 50 = 0
RB = −30/8 = −3,75 kN
Kesetimbangan vertikal
RA = 10 − (−3,75) = 13,75 kN
Jawaban
RB = −3,75 kN
Reaksi negatif bekerja ke bawah.
4.Reaksi tumpuan balok
Jawaban: RA = 21,44 kN
Kesetimbangan statis: benda yang diam memenuhi ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 terhadap titik mana pun. Ganti setiap beban merata dengan resultannya (luasnya) yang bekerja di titik berat diagram beban, dan ambil momen terhadap satu tumpuan untuk menghilangkan reaksi tumpuan itu dari persamaan.
Komponen P
Pv = 20·sin 40° = 12,86 kN
Ph = 20·cos 40° = 15,32 kN
Reaksi
ΣMA = 0: RB·4 = 12,86·0,5 + 15·3 → RB = 12,86 kN
Ay = 12,86 + 15 − 12,86 = 15 kN
Ax = Ph = 15,32 kN
Resultan di A
RA = √(15,32² + 15²) = 21,44 kN
Jawaban
RA = 21,44 kN
5.Rangka batang: metode titik buhul
Jawaban: elemen CG
Elemen gaya-nol: pada simpul, gaya-gaya harus seimbang ke segala arah. Jika simpul tidak memiliki beban dan tumpuan, dan dua dari tiga elemennya segaris, maka keseimbangan melintang garis itu hanya melibatkan elemen ketiga, sehingga gayanya nol. Jika hanya dua elemen bertemu di simpul tak berbeban dan keduanya tidak segaris, keduanya nol.
Simpul C
BC dan CD terletak pada satu garis lurus dan simpul tidak membawa beban. Menyeimbangkan gaya melintang garis itu hanya menyisakan CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Periksa dengan metode simpul
Menyelesaikan semua simpul memberikan gaya elemen berikut (T = tarik, C = tekan).
Metode titik buhul: setiap titik buhul rangka berada dalam kesetimbangan, jadi ΣFx = 0 dan ΣFy = 0 di setiap titik buhul. Mulai dari titik buhul dengan paling banyak dua gaya batang tak diketahui. Hasil negatif berarti batang mengalami tekan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh rangka. Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam.
ΣMA = 0: Cy·5 = 55·3 + 10·4 → Cy = 41 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 41 = 14 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Titik buhul C
Rol hanya memberi reaksi vertikal, jadi titik buhul C hanya punya dua gaya batang tak diketahui. Anggap keduanya tarik.
sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472
Mesin: tang, tuas, sambungan batang, dan penjepit mengubah gaya masukan menjadi gaya keluaran yang lebih besar atau berarah lain. Gambar satu bagian sebagai benda bebas dan ambil momen terhadap porosnya: gaya pin hilang, dan Fin·a = Fout·b memberi keuntungan mekanis a/b. Gaya pin kemudian diperoleh dari ΣF = 0 pada bagian yang sama. Pada toggle, dua batang penghubung bertemu pada sudut dangkal θ; setiap batang adalah batang dua gaya, sehingga gaya kecil F di sambungan menimbulkan gaya batang yang besar F/(2 sin θ) dan gaya penjepitan F/(2 tan θ).
Gaya di B
Q = 100·300/150 = 200 N
Reaksi pin
Ox = 200 N, Oy = 100 N
FO = √(200² + 100²) = 223,6 N
Jawaban
FO = 223,6 N
8.Rangka & mesin
Jawaban: Ax = 2,232 kN
Rangka dan mesin: tidak seperti rangka batang, sebuah rangka (frame) memiliki sekurang-kurangnya satu batang yang menahan gaya di lebih dari dua titik, atau beban di antara pin-nya. Pertama cari batang dua gaya: batang yang hanya dibebani pada dua pin memiliki gaya sepanjang garis melalui keduanya, sehingga menambah satu besaran tak diketahui, bukan dua. Lalu gunakan seluruh struktur untuk reaksi tumpuan bila tidak ada lebih dari tiga besaran tak diketahui. Terakhir bongkar rangkanya: gambar setiap batang sendiri-sendiri, dengan gaya pin yang sama besar dan berlawanan arah pada kedua batang yang dihubungkannya, dan tuliskan ΣFx = 0, ΣFy = 0, dan ΣM = 0 untuknya. Mengambil momen terhadap sebuah pin menghilangkan kedua komponen gaya pin itu dari persamaan.
Arah BC
BC = 6,133 m, cos = 0,9131, sin = 0,4077
Seluruh rangka: momen terhadap A
FBC·0,4077·8 = 12·1,2 + 6·2,5
FBC = 9,015 kN
Keseimbangan horizontal
Ax + 6 − 9,015·0,9131 = 0
Ax = 2,232 kN → |Ax| = 2,232 kN
Jawaban
Ax = 2,232 kN
Ax mengarah ke kanan.
9.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 28,75 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2,5 + 80·6
RB = 617,5/5 = 123,5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 123,5 = 11,5 kN
Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri
Mx = RA·2,5 = 11,5·2,5 = 28,75 kN·m
Jawaban
Mx = 28,75 kN·m
10.Gaya geser & momen lentur
Jawaban: Mx = 34 kN·m
Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.
Reaksi tumpuan
Kesetimbangan seluruh balok.
Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2,5 + 8·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri
Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.
M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 25·3 − 10·(3 − 2,5) − 8·3·1,5 = 34 kN·m
Jawaban
Mx = 34 kN·m
11.Titik berat & momen inersia
Jawaban: Ix = 19,75 × 10⁶ mm⁴
Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.
Bagi menjadi persegi panjang
Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.
basis: A1 = 240·12 = 2880 mm², y1 = 6 mm
dua kaki: A2 = 2·12·158 = 3792 mm², y2 = 12 + 158/2 = 91 mm
Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.
Titik berat
ȳ = (30000·150 − 2400·210)/(30000 − 2400) = 144,8 mm